Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể tạo thành bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau đồng thời mỗi chữ số chẵn luôn đứng giữa hai chữ số lẻ?

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 41 chọn đáp án A.

Các chữ số chẵn trong tập là $\{2,4,6\}$ (3 chữ số), các chữ số lẻ là $\{1,3,5,7\}$ (4 chữ số).
Vì mỗi chữ số chẵn luôn đứng giữa hai chữ số lẻ nên chữ số chẵn không thể đứng ở vị trí đầu tiên hoặc vị trí cuối cùng của số có 5 chữ số, và hai chữ số chẵn không thể đứng cạnh nhau.
Do đó cấu trúc của số có 5 chữ số bắt buộc phải có dạng:
- L - C - L - C - L (chứa 3 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn).
Số cách chọn và xếp 3 chữ số lẻ vào 3 vị trí L là: $A_4^3=4\times 3\times 2=24$ cách.
Số cách chọn và xếp 2 chữ số chẵn vào 2 vị trí C là: $A_3^2=3\times 2=6$ cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số các số thỏa mãn là:
$24\times 6=144$ (với trường hợp 2 chữ số chẵn).
Ngoài ra nếu có 1 chữ số chẵn: cấu trúc có 4 chữ số lẻ và 1 chữ số chẵn ở vị trí thứ 2, 3 hoặc 4 (3 vị trí), số cách là $3\times A_4^4\times 3=3\times 24\times 3=216$ cách.
Tổng số các số thỏa mãn là $144+216=360$.

Chọn đáp án A.