Với mỗi cặp số thực $(x;y)$ thỏa mãn ${\log }_2(2x+y)={\log }_4(x^2+xy+7y^2)$ luôn tồn tại một số thực $k$ sao cho ${\log }_3(3x+y)={\log }_9(3x^2+4xy+k{y}^2)$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị mà $k$ có thể nhận. Tổng của các phần tử thuộc $S$ bằng

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 40 chọn đáp án C.

Từ phương trình thứ nhất:
${\log }_2(2x+y)={\log }_4(x^2+xy+7y^2)=\frac{1}{2}{\log }_2(x^2+xy+7y^2)$
$⟺(2x+y{)}^2=x^2+xy+7y^2⟺4x^2+4xy+y^2=x^2+xy+7y^2⟺3x^2+3xy-6y^2=0$
$⟺x^2+xy-2y^2=0⟺(x-y)(x+2y)=0$.
Từ phương trình thứ hai tương tự:
$(3x+y{)}^2=3x^2+4xy+k{y}^2⟺9x^2+6xy+y^2=3x^2+4xy+k{y}^2⟺6x^2+2xy+(1-k)y^2=0$.
Thay các trường hợp liên hệ giữa $x$ và $y$ từ điều kiện thứ nhất:
- Trường hợp 1: $x=y\Rightarrow 6y^2+2y^2+(1-k)y^2=0⟺9-k=0⟺k=9$ (với $y>0$).
- Trường hợp 2: $x=-2y\Rightarrow 6(4y^2)+2(-2y)y+(1-k)y^2=0⟺24-4+1-k=0⟺k=21$.
Do đó tập các giá trị của $k$ là $S=\{9;21\}$.
Tổng các phần tử thuộc $S$ bằng $9+21=30$.

Chọn đáp án C.