Từ hai vị trí $A$ và $B$ của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh $C$ của ngọn núi. Biết rằng độ cao $AB$ bằng 70m, phương nhìn $AC$ tạo với phương nằm ngang góc $30^{\circ }$. Phương nhìn $BC$ tạo với phương nằm ngang góc $15^{\circ }30^{\prime }$. Tính chiều cao của ngọn núi so với mặt đất (làm tròn đến hàng đơn vị).

[Hình cần kiểm tra lại: p2_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống mặt đất, $K$ là giao điểm của đường thẳng qua $B$ song song với mặt đất với $CH$ (như hình vẽ trong đề). Khi đó $BK\perp CH$, $BK=AH$, $KH=AB=70$ m nên $CK=CH-70$.

Trong tam giác vuông $ACH$ (góc $A$ bằng $30^{\circ }$):
$$\tan 30^{\circ }=\frac{CH}{AH}\Rightarrow AH=\frac{CH}{\tan 30^{\circ }}=CH\cdot \cot 30^{\circ }.$$

Trong tam giác vuông $BCK$ (góc $B$ bằng $15^{\circ }30^{\prime }$):
$$\tan 15^{\circ }30^{\prime }=\frac{CK}{BK}=\frac{CH-70}{AH}\Rightarrow AH=(CH-70)\cot 15^{\circ }30^{\prime }.$$

Suy ra:
$$CH\cdot \cot 30^{\circ }=(CH-70)\cot 15^{\circ }30^{\prime }$$
$$CH\left(\cot 15^{\circ }30^{\prime }-\cot 30^{\circ }\right)=70.$$

Với $\cot 15^{\circ }30^{\prime }=\frac{1}{\tan 15^{\circ }30^{\prime }}\approx \frac{1}{0,2773}\approx 3,6059$ và $\cot 30^{\circ }\approx 1,7321$:
$$CH=\frac{70}{3,6059-1,7321}=\frac{70}{1,8738}\approx 37,4\text{ (m)}.$$

Vậy chiều cao của ngọn núi so với mặt đất, làm tròn đến hàng đơn vị, là $\boxed{37}$ m.