Với $a$ là tham số thực để bất phương trình $2^x+3^x\ge ax+2$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$, mệnh đề nào sau đây đúng?

Xét hàm số $f(x)=2^x+3^x-ax-2$ trên $\mathbb{R}$. Ta có $f(0)=1+1-2=0$. Để $f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ thì $x=0$ phải là điểm cực tiểu của hàm số, do đó $f^{\prime }(0)=0$. Ta có $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2+3^x\ln 3-a\Rightarrow f^{\prime }(0)=\ln 2+\ln 3-a=\ln 6-a=0\iff a=\ln 6$. Thử lại với $a=\ln 6$, hàm số $f(x)$ lồi trên $\mathbb{R}$ vì $f^{\prime \prime }(x)>0$ nên $f(x)\ge f(0)=0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.