Với mỗi số nguyên dương $c$, xét hàm $g_c:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ xác định bởi
$$g_c(n)=\sum _{i=1}^c\phi (n+i),$$
trong đó $\phi$ là hàm phi Euler.
(1) Tìm tất cả $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho $g_4(n)=10$.
(2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $c$, không tồn tại $T\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho $g_c(n)$ nhận mọi giá trị thuộc khoảng $(T,+\infty )$.

(1) Để ý $g_4(1)=9$ và $g_4(2)=10$.
Xét $n\ge 3$. Khi đó bốn số $n+1,n+2,n+3,n+4$ đều ít nhất bằng 4 và có đúng hai số lẻ, mỗi số lẻ ấy ít nhất bằng 5. Với số lẻ $q\ge 5$, bốn số $1,2,q-2,q-1$ đôi một khác nhau và đều nguyên tố cùng nhau với $q$, nên $\phi (q)\ge 4$, còn phi các số còn lại ít nhất bằng 2. Do đó
$$g_4(n)\ge 4+4+2+2=12>10.$$
Vậy nghiệm duy nhất là $n=2$.
(2) Với mọi $k\ge 3$, $\phi (k)$ là số chẵn. Vì thế, nếu $n\ge 2$ thì $n+i\ge 3$ với mọi $1\le i\le c$, và do đó
$$g_c(n)=\sum _{i=1}^c\phi (n+i)$$
luôn là số chẵn. Giả sử tồn tại $T\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho $g_c(n)$ nhận mọi giá trị thuộc $(T,+\infty )$. Chọn số lẻ
$$M>\max \{T,g_c(1)\}.$$
Nếu $n=1$ thì $g_c(n)=g_c(1)\ne M$, còn nếu $n\ge 2$ thì $g_c(n)$ chẵn nên không thể bằng $M$, vô lý.
Vậy với mọi $c\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, không tồn tại $T\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sao cho $g_c(n)$ nhận mọi giá trị trong $(T,+\infty )$.