Xếp $8$ quyển sách giống nhau vào một giá sách gồm $10$ ngăn. Gọi $P$ là xác suất để xếp $8$ quyển sách vào $10$ ngăn sao cho số quyển sách trong mỗi ngăn không quá $2$ quyển sách, có $4$ ngăn hoặc $6$ ngăn chứa đúng $1$ quyển sách và các ngăn liền kề với ngăn chứa $2$ quyển sách là ngăn không có quyển sách nào. Tính $12155P$.

Số cách xếp $8$ quyển sách giống nhau vào $10$ ngăn phân biệt là $n(\Omega )=C_{17}^9=24310$.
Gọi $x,y,z$ lần lượt là số ngăn chứa $0,1,2$ quyển sách. Ta có hệ $\{\begin{array}{l}x+y+z=10\\ y+2z=8\\ y\in \{4;6\}\end{array}$.
Điều kiện các ngăn liền kề ngăn chứa $2$ quyển là ngăn rỗng tương đương với việc các số $2$ nằm cách nhau bởi ít nhất một số $0$.
- Trường hợp 1: $y=4\Rightarrow z=2,x=4$. Sắp xếp $4$ số $0$ tạo $5$ khoảng trống; chọn $2$ trong $5$ khoảng để đặt số $2$ có $C_5^2=10$ cách; xếp $4$ số $1$ vào $3$ khoảng trống còn lại có $C_6^3=15$ cách $\Rightarrow 10\cdot 15=150$ cách.
- Trường hợp 2: $y=6\Rightarrow z=1,x=3$. Sắp xếp $3$ số $0$ tạo $4$ khoảng trống; chọn $1$ trong $4$ khoảng để đặt số $2$ có $C_4^1=4$ cách; xếp $6$ số $1$ vào $3$ khoảng trống còn lại có $C_8^3=28$ cách $\Rightarrow 4\cdot 28=112$ cách.
Suy ra $P=\frac{150+112}{24310}=\frac{262}{24310}=\frac{131}{12155}\Rightarrow 12155P=131$.