Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho vectơ $\vec{a}$ thỏa mãn $\vec{a}=4\vec{i}+3\vec{j}-5\vec{k}$. Tọa độ vectơ $\vec{a}$ là

Cho hàm số $f(x)=3^x+1$. Một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x=6$, ${\int }_2^{5}f(x)\mathrm{d}x=2$. Giá trị của biểu thức ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Khảo sát thời gian ứng dụng AI vào học tập trong một ngày của học sinh lớp 12A, thu được mẫu số liệu như sau:
$\begin{array}{cccccc}\text{Thời gian (phuˊt)}& [20;25)& [25;30)& [30;35)& [35;40)& [40;45)\\ \text{Soˆˊ học sinh}& 5& 8& 14& 10& 6\end{array}$
Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng *(làm tròn kết quả hàng phần trăm)*?

Phương trình $\sin x+1=0$ có nghiệm là

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)+3>0$ là

Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{3x+2}{x+1}$ trên đoạn $[0;2]$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mắt một người quan sát đặt tại điểm $M(1;2;3)$ và quan sát một thanh $AB$ với $A(7;8;-3)$, $B(2;3;-3)$. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ có tâm $O(0;0;0)$, bán kính $R$ và che khuất hoàn toàn thanh $AB$ đối với người quan sát tại điểm $M$.

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2-x+100}{x}$.

Từ một nhóm học sinh gồm $6$ học sinh lớp $10A$, $8$ học sinh lớp $10B$ và $7$ học sinh lớp $10C$. Chọn ngẫu nhiên $5$ học sinh từ nhóm học sinh trên?

Chiếc mũ rộng vành được mô hình hóa khi cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{1-x^2}& \text{khi }-1\le x\le 0\\ x^3+1& \text{khi }0<x\le 1\end{array}$, trục $Ox$ và các đường thẳng $x=-1$, $x=1$ quay xung quanh trục $Ox$ (tham khảo hình vẽ). Biết đơn vị trên mỗi trục là $\text{dm}$.

**Tỉ lệ lạm phát** là tỉ lệ phần trăm biểu thị mức tăng chung của giá hàng hóa và dịch vụ trong một khoảng thời gian *(thường tính theo năm)*. Nếu tỉ lệ lạm phát của năm sau so với năm trước là $i$ thì $A$ đồng ở năm trước tương đương với $P=A(1+i)$ đồng ở năm sau.
Ông An gửi vào ngân hàng $100$ triệu đồng với lãi suất $6\%$/năm, theo hình thức lãi kép, tính lãi mỗi năm một lần *(tức là lãi của năm trước được nhập vào vốn để tính lãi cho năm sau)*. Sau $2$ năm, ông An nhận cả vốn và lãi. Giả sử trong $2$ năm đó, tỉ lệ lạm phát ổn định $4\%$/năm. Nếu quy đổi theo mức giá tại thời điểm gửi tiền thì số tiền ông An nhận được sau $2$ năm tương đương bao nhiêu triệu đồng *(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)*?

Trong một chương trình giao lưu âm nhạc đón tết vui xuân, ban đầu với sự tham dự của $1700$ khán giả. Ban tổ chức đã thống kê được số lượng khán giả ở lại sân khấu xem âm nhạc theo thời gian, được mô tả bởi một hàm số liên tục trên $t\in [0;+\infty )$: $f^{\prime }(t)=\{\begin{array}{ll}1700-400t,& 0\le t\le 2\\ a(t-2{)}^2+b,& t>2\end{array}$ (trong đó $f^{\prime }(t)$ là số khán giả, $t$ là số giờ kể từ khi chương trình bắt đầu, $a,b$ là tham số thực), với hàm số $f(t)$ mô tả tổng sự hiện diện của khán giả theo thời gian $t$. Sau $2$ giờ $30$ phút số lượng khán giả ở lại sân khấu là $875$. Hỏi từ khi bắt đầu cho đến khi khán giả ra về hết, trung bình mỗi giờ còn bao nhiêu khán giả ở lại tham gia chương trình âm nhạc?

Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số $P(t)=\frac{a}{b+e^{-0,75t}}$ (với $a,b\in \mathbb{R}$), trong đó thời gian $t$ được tính bằng giờ. Đạo hàm của hàm số $y=P(t)$ biểu thị tốc độ sinh trưởng của nấm men (tính bằng tế bào/giờ) tại thời điểm $t$ (giờ). Tại thời điểm ban đầu $t=0$, quần thể có $24$ tế bào và tốc độ sinh trưởng là $8$ tế bào/giờ. Sau một thời gian về lâu dài thì số lượng tế bào của quần thể nấm men tiến về giá trị bao nhiêu?

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng có phương trình $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+5}{5}$; $d^{\prime }:\frac{x-1}{a}=\frac{y+1}{b}=\frac{z+4}{c}$, trong đó $a,b,c$ là các số thực khác $0$ sao cho các đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ cắt nhau tại $M$. Mặt phẳng $(P):2x+y-2z-6=0$ lần lượt cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ tại $A,B,C$. Tính thể tích của khối tứ diện $MABC$.

Xếp $8$ quyển sách giống nhau vào một giá sách gồm $10$ ngăn. Gọi $P$ là xác suất để xếp $8$ quyển sách vào $10$ ngăn sao cho số quyển sách trong mỗi ngăn không quá $2$ quyển sách, có $4$ ngăn hoặc $6$ ngăn chứa đúng $1$ quyển sách và các ngăn liền kề với ngăn chứa $2$ quyển sách là ngăn không có quyển sách nào. Tính $12155P$.

Một giàn khung thép đỡ bồn nước sinh hoạt có dạng là hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Để giàn đỡ có kết cấu chắc chắn người ta hàn thêm $1$ số thanh sắt (hình vẽ), trong đó có hai thanh $A{B}^{\prime }\perp B{C}^{\prime }$. Cho biết cạnh đáy của giàn đỡ $AB=2(\text{m})$. Tính thể tích $V({\text{m}}^3)$ của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ *(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*.