Xét các số phức $z_1,z_2$ thay đổi thỏa mãn đồng thời hai đẳng thức $|z_1|=2$ và $z_2\cdot z_1^2-12z_1+4z_2=0$. Giá trị nhỏ nhất của $|3z_1+z_2-2i-1|$ bằng

Chọn A.
Đặt $z_1=a+bi,z_2=c+di$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$.
Từ $|z_1|=2\Rightarrow z_1{\bar{z}}_1=|z_1{|}^2=4$.
Đẳng thức thứ hai: $z_2{z}_1^2-12z_1+4z_2=0\iff z_2{z}_1^2-12z_1+(z_1{\bar{z}}_1)z_2=0$.
Vì $|z_1|=2\ne 0$, chia cả hai vế cho $z_1$ ta được:
$z_2{z}_1+{\bar{z}}_1{z}_2=12\iff 2\text{Re}(z_1{\bar{z}}_2)=12\iff ac+bd=6$.
Ta có $a^2+b^2=|z_1{|}^2=4$.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$(ac+bd{)}^2\le (a^2+b^2)(c^2+d^2)\Rightarrow 36\le 4(c^2+d^2)\Rightarrow c^2+d^2\ge 9$.
Ta xét:
$|3z_1+z_2{|}^2=(3a+c{)}^2+(3b+d{)}^2=9(a^2+b^2)+(c^2+d^2)+6(ac+bd)$
$=9(4)+(c^2+d^2)+6(6)=72+c^2+d^2\ge 72+9=81\Rightarrow |3z_1+z_2|\ge 9$.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác $|u-v|\ge ||u|-|v||$:
$|3z_1+z_2-(1+2i)|\ge |3z_1+z_2|-|1+2i|\ge 9-\sqrt{1^2+2^2}=9-\sqrt{5}$.
Đẳng thức xảy ra khi các vectơ cùng hướng và thỏa mãn hệ phương trình, có nghiệm $\left(a,b,c,d\right)=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{4}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{5}},\frac{6}{\sqrt{5}}\right)$.
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là $9-\sqrt{5}$.