Xét các số phức $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) thỏa mãn $|z-3-2i|=2$. Tính $|z-2i|$ khi $|z+1-2i|+2|z-2-5i|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi $M(a;b)$, $A(-1;2)$, $B(2;5)$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $z$, $z_1=-1+2i$, $z_2=2+5i$.
Từ giả thiết $|z-3-2i|=2$, tập hợp điểm $M$ là đường tròn $(C):(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=4$ có tâm $I(3;2)$ và bán kính $R=2$.
Ta có $MA=|z+1-2i|$, $MB=|z-2-5i|$, $IA=4$, $IB=\sqrt{10}$.
Lấy điểm $E$ trên đoạn $IA$ sao cho $\overrightarrow{IE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{IA}\Rightarrow E(2;2)$ nằm trong đường tròn $(C)$.
Xét hai tam giác $△EIM$ và $△MIA$ có $\frac{IE}{IM}=\frac{IM}{IA}=\frac{1}{2}$ và $\widehat{EIM}$ chung nên $△EIM\sim △MIA$ (c.g.c), suy ra $MA=2ME$.
Khi đó:
$P=MA+2MB=2(ME+MB)\ge 2EB$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $EB$ với đường tròn $(C)$.
Phương trình đường thẳng $EB$ là $x=2$. Vì $M\in EB\cap (C)$ và $y_E=2<y_M<y_B=5$ nên $M(2;2+\sqrt{3})$.
Suy ra $z=2+(2+\sqrt{3})i\Rightarrow |z-2i|=|2+\sqrt{3}i|=\sqrt{2^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{7}$.
Chọn đáp án B.

[IMAGE:img_1]