Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=2$, $|iw-2+5i|=1$. Giá trị nhỏ nhất của $|z^2-wz-4|$ bằng

Vì $|z|=2$ nên $z\bar{z}=4$, suy ra $|z^2-wz-4|=|z^2-wz-z\bar{z}|=|z|\cdot |(z-\bar{z})-w|=2|w-(z-\bar{z})|$. Đặt $z=a+bi$ với $a^2+b^2=4⟹b\in [-2;2]$, khi đó $z-\bar{z}=2bi$ có điểm biểu diễn $N(0;2b)$ thuộc đoạn thẳng $AB$ trên trục tung với $A(0;4),B(0;-4)$. Mặt khác $|iw-2+5i|=1⟺|w+5+2i|=1$, nên điểm biểu diễn $M$ của $w$ thuộc đường tròn tâm $I(-5;-2)$, bán kính $R=1$. Khoảng cách ngắn nhất từ $I(-5;-2)$ đến đoạn $AB$ đạt tại $D(0;-2)$ với $ID=5$, nên $\min MN=ID-R=5-1=4$. Vậy $\min |z^2-wz-4|=2\cdot 4=8$.