Xét tính liên tục của các hàm số sau
a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}$
c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$
d) $f(x)=\sqrt{x-2}$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 19. Xét tính liên tục của các hàm số.

a) $f(x)=x^3-x^2+8x$ là hàm đa thức, xác định và liên tục trên toàn trục thực $\mathbb{R}$. Vậy $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) $f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x}=\frac{x^2}{x(x-3)}$, xác định khi $x\ne 0$ và $x\ne 3$. Trên các khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;3)$, $(3;+\infty )$ hàm số là thương của các hàm liên tục (mẫu khác 0) nên liên tục. Tại $x=0$ và $x=3$: ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{x(x-3)}={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x-3}=0$, ${\lim }_{x\to 3}\frac{x^2}{x(x-3)}={\lim }_{x\to 3}\frac{x}{x-3}=\infty$. Vậy $f(x)$ liên tục trên từng khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;3)$, $(3;+\infty )$; không liên tục tại $x=0$ và $x=3$ (các điểm này không thuộc tập xác định).

c) $f(x)=\frac{\sin x+1}{x+1}$, xác định khi $x\ne -1$. Trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ hàm liên tục (tử, mẫu liên tục, mẫu khác 0). Tại $x=-1$: ${\lim }_{x\to -1}\frac{\sin x+1}{x+1}$. Ta có $\sin (-1)+1\approx 0,1585\ne 0$ nên giới hạn này vô cực (bên trái $+\infty$, bên phải $-\infty$), không tồn tại hữu hạn. Vậy $f(x)$ liên tục trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không liên tục tại $x=-1$.

d) $f(x)=\sqrt{x-2}$, tập xác định $D=[2;+\infty )$. Hàm $\sqrt{u}$ liên tục trên $[0;+\infty )$ nên $f$ liên tục trên $[2;+\infty )$. Cụ thể: với mọi $x_0>2$, ${\lim }_{x\to x_0}\sqrt{x-2}=\sqrt{x_0-2}=f(x_0)$; tại $x_0=2$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}\sqrt{x-2}=0=f(2)$. Vậy $f(x)$ liên tục trên nửa khoảng $[2;+\infty )$.