Xét tính liên tục của hàm số: $f(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{x}{2}& \text{khi }x\le 1\\ \frac{x^2-3x+2}{x^2-1}& \text{khi }x>1\end{array}$

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{x}{2}& \text{khi }x\le 1\\ \frac{x^2-3x+2}{x^2-1}& \text{khi }x>1\end{array}$.

Trên $(-\infty ;1]$, $f(x)=-\frac{x}{2}$ là hàm đa thức nên liên tục. Trên $(1;+\infty )$, $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$ (với $x>1$ nên $x\ne 1$, mẫu khác 0) là hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên $(1;+\infty )$.

Chỉ cần xét tại $x=1$:
- $f(1)=-\frac{1}{2}$.
- Giới hạn trái: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-\frac{x}{2}\right)=-\frac{1}{2}$.
- Giới hạn phải: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x+1}=\frac{1-2}{1+1}=-\frac{1}{2}$.

Vì $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=f(1)=-\frac{1}{2}$ nên hàm số liên tục tại $x=1$.

Kết luận: Hàm số liên tục trên tập xác định $\mathbb{R}$ (nói riêng liên tục tại $x=1$).