Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy nạp với dãy truy hồi (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $y_n=x_n-1$. Vì $\frac{2n+11}{n+5}=2+\frac{1}{n+5}$ nên phương trình truy hồi trở thành $$y_{n+1}=y_n^2+\frac{1}{n+5},y_1=\frac{1}{2}.$$ Ta chứng minh bằng quy nạp rằng $y_n\le \frac{5}{2n+8}$ với mọi $n\ge 1$, tức là $x_n\le \frac{2n+13}{2n+8}$.

- Với $n=1$: $y_1=\frac{1}{2}=\frac{5}{10}$, đẳng thức xảy ra.
- Giả sử $y_n\le \frac{5}{2n+8}=\frac{5}{2(n+4)}$. Vì $y_n^2\ge 0$ nên $y_n>0$ với mọi $n$ (do $y_{n+1}=y_n^2+\frac{1}{n+5}>0$), do đó $y_{n+1}\le \frac{25}{4(n+4{)}^2}+\frac{1}{n+5}$.

Ta cần chứng minh $$\frac{25}{4(n+4{)}^2}+\frac{1}{n+5}\le \frac{5}{2(n+5)}.$$ Nhân hai vế với $4(n+4{)}^2(n+5)>0$, bất đẳng thức tương đương $$25(n+5)+4(n+4{)}^2\le 10(n+4{)}^2⟺25(n+5)\le 6(n+4{)}^2$$ $$⟺6n^2+23n-29\ge 0⟺(n-1)(6n+29)\ge 0,$$ luôn đúng với $n\ge 1$ (đẳng thức tại $n=1$). Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh đúng với mọi $n$.

Vậy $x_n\le \frac{2n+13}{2n+8}=1+\frac{5}{2n+8}$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Mặt khác, với $n\ge 2$: $y_n=y_{n-1}^2+\frac{1}{n+4}>\frac{1}{n+4}$. Do đó với mọi $n\ge 2$: $$\frac{1}{n+4}<y_n\le \frac{5}{2n+8}.$$ Vì cả hai cận đều tiến về $0$ khi $n\to \infty$, theo nguyên lý kẹp $y_n\to 0$, tức là $$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=1.$$

Lời giải (nguồn: trang giải chính thức, Bài toán 0.1 - Lim Olympic - Quảng Trị TST - P1).

a) Ta có $u_2=a+\frac{1}{a}\ge 2$. Giả sử $u_n\ge n$ với $n\ge 2$ nào đó. Khi đó
$$u_{n+1}-(n+1)=u_n+\frac{n}{u_n}-n-1=\frac{(u_n-n)(u_n-1)}{u_n}\ge 0.$$
Suy ra $u_{n+1}\ge n+1$. Theo quy nạp, ta có $u_n\ge n$ với mọi $n\ge 2$.

b) Ta có $u_{n+1}^2-u_n^2=2n+\frac{n^2}{u_n^2}$ nên $u_n^2=a^2+n(n-1)+\sum _{i=1}^{n-1}\frac{i^2}{u_i^2}$ với mọi $n\ge 2$.

Để ý với $i\ge 2$ ta có $u_i\ge i$, nên $\frac{i^2}{u_i^2}\le 1$. Vì vậy
$$a^2+n(n-1)\le u_n^2\le a^2+n(n-1)+\frac{1}{a^2}+n-2.$$
Từ đó ta suy ra được với mọi $n\ge 2$ thì
$$1-\frac{1}{n}+\frac{a^2}{n^2}\le \frac{u_n^2}{n^2}\le 1+\frac{a^2+a^{-2}-2}{n^2}.$$
Theo nguyên lý kẹp ta có $\frac{u_n^2}{n^2}\to 1$, và vì $u_n>0$ nên $\frac{u_n}{n}\to 1$.

Kết luận: giới hạn của dãy $\left(\frac{u_n}{n}\right)$ bằng 1.