Trong mặt phẳng $Oxy$, phương trình tổng quát của đường thẳng qua $A(x_0;y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(a;b)$ là

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec{n}}_1$ và ${\vec{n}}_2$. Gọi $\phi$ là góc của hai đường thẳng. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho hai đường thẳng ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$ lần lượt có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_1$ và ${\vec{u}}_2$. Nếu ${\vec{u}}_1$ và ${\vec{u}}_2$ không cùng phương thì

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ được xác định bởi

Khai triển ${\left(a+b\right)}^4$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai vectơ $\vec{a}=\left(2;-3\right)$, $\vec{b}=\left(5;3\right)$. Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng bao nhiêu?

Trong mặt phẳng $Oxy$, phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $M\left(2;-3\right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left(4;-1\right)$ là

Dịp Tết Bình Ngọ 2026, một nhóm gồm 3 bạn nữ và 4 bạn nam hẹn nhau đi xem phim. Cả nhóm đã đặt trước 7 vé VIP ở các ghế ngồi liền kề nhau trên cùng một hàng ngang. Khi vào rạp, họ bắt đầu sắp xếp vị trí ghế ngồi xem phim.

Một vùng biển được mô hình hóa trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 km). Ba trạm kiểm soát được đặt tại các vị trí $A(-2;1)$, $B(1;3)$, $C(1;-1)$.

Trong một phòng khách, chuyển động của một chiếc robot lau nhà thông minh được lập trình mô phỏng trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ (đơn vị: mét). Robot di chuyển theo quỹ đạo là đường tròn $(C)$ có phương trình: $x^2+y^2-8x-8y+7=0$. Tại điểm $M(8;7)$, robot bị trượt bánh và văng đi theo hướng tiếp tuyến $\Delta$ với đường tròn đó.

Bạn An có thể đi từ nhà đến trường theo các con đường, trong đó có những con đường đi qua nhà sách (như hình bên dưới).

(1,0 điểm) Lớp 10A có 20 học sinh nữ và 25 học sinh nam. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra một đội gồm 1 học sinh nữ và 1 học sinh nam tham gia hội thi Học sinh thanh lịch cấp trường.
a) Có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh nữ từ 20 học sinh nữ?
b) Có bao bao nhiêu cách chọn 1 học sinh nam từ 25 học sinh nam?
c) Có bao bao nhiêu cách chọn 1 học sinh nữ và 1 học sinh nam tham gia hội thi?

(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hàm số bậc nhất $y=x+5$ có đồ thị là đường thẳng $\Delta$ như hình vẽ bên dưới.
a) Phương trình $x-y+5=0$ là phương trình tham số hay phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$?
b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$.
c) Hãy chỉ ra tọa độ hai điểm $A$ và $B$ trên đường thẳng $\Delta$.

(0,5 điểm) Trong Hội trại truyền thống 26/3, Ban tổ chức chuẩn bị hai hàng niêu đất cho trò chơi “Bịt mắt đập niêu” như sau:
+ Hàng niêu thứ nhất: có 12 chiếc, trong đó có 8 chiếc chứa phần thưởng và 4 chiếc chứa bột mì.
+ Hàng niêu thứ hai: có 15 chiếc, trong đó có 9 chiếc chứa phần thưởng và 6 chiếc chứa bột mì.
Một người chơi bịt mắt và vung gậy đập vỡ 2 chiếc niêu ở hàng thứ nhất và 2 chiếc niêu ở hàng thứ hai. Hỏi có bao nhiêu cách đập vỡ 4 chiếc niêu sao cho người chơi đó nhận được tối đa 1 chiếc niêu chứa phần thưởng?

(0,5 điểm) Kiến trúc sư thiết kế một khu vườn hình tam giác $ABC$ trên bản vẽ (được gắn với hệ trục tọa độ $Oxy$, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 mét thực tế). Bên trong khu vườn, một hồ nước hình tròn có tâm $I$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và thỏa mãn $\overrightarrow{HG}=2\overrightarrow{GI}$. Trong đó, xác định các vị trí như sau:
+ Máy bơm nước được đặt tại trực tâm $H(7;8)$ của tam giác $ABC$.
+ Bức tượng đá được đặt tại trọng tâm $G(3;4)$ của tam giác $ABC$.
Bên cạnh đó, một lối đi lát đá đang được thi công có dạng là đường thẳng $\Delta$ có phương trình $3x-4y+20=0$ tiếp xúc với đường tròn. Tính bán kính của hồ nước.