Câu 4 (7,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $P$ là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng $AM$. Đường thẳng đối xứng với đường thẳng $BP$ qua $AB$ cắt $AC$ và $AM$ lần lượt tại $T$ và $Q$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPQ$ cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $F$ khác $B$. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CFT$ nằm trên đường thẳng $BQ$.

Câu 5 (7,0 điểm)
a) Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương bất kì, luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3.

b) Chứng minh rằng trong 13 ước nguyên dương của $6^{2019}$, luôn tồn tại 3 số có tích là lập phương của một số tự nhiên.

Câu 6 (6,0 điểm)
Cho đa thức $P(x)$ bậc ba với hệ số nguyên. Biết rằng $P(x)$ có ba nghiệm vô tỉ phân biệt là $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=0$ và tồn tại hai số nguyên $p,q$ sao cho $a=b^2+pb+q$. Chứng minh rằng $T=p^2-2p-4q-7$ là số chính phương.

————- HẾT ————-