Cho dãy số thực $(u_n)$ thỏa mãn:
$$u_1=2,(u_{n+1}+1)u_n=u_n{\left(\sqrt{u_n}+1\right)}^2+1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
a) Chứng minh rằng $3n-1\le u_n<(n+1{)}^2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
b) Chứng minh rằng $\frac{1}{u_1}+\frac{2}{u_2}+\cdots +\frac{n}{u_n}>\ln \frac{n+2}{2}-1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Cho tam giác $ABC$ không cân có $D$, $E$ tương ứng là chân đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc $\widehat{BAC}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $AC$ tại $F$ khác $A$. Giả sử $AB$ và $DF$ cắt nhau tại $I$. Gọi $J$ là giao điểm của $AE$ và $DF$; $S$ là giao điểm của $AD$ và $EF$; $Q$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABF$.
a) Chứng minh rằng các điểm $A$, $B$, $D$, $J$ cùng thuộc một đường tròn và $CI$ vuông góc với $SQ$.
b) Giả sử $AE$ và $BF$ cắt nhau tại $X$. Chứng minh rằng ba điểm $C$, $I$, $X$ thẳng hàng.

Chứng minh rằng, có thể sắp tất cả các tập con của tập $S=\{1;2;3;\cdots ;2027\}$ thành một dãy sao cho mỗi cặp gồm hai tập con kề nhau bất kỳ chỉ sai khác đúng một phần tử (tức là một tập thu được từ tập kia bằng cách thêm hoặc bớt một phần tử nào đó).

Xét đa thức $P(x)$ hệ số thực thoả mãn
$$P(x)\left[P\left(x^2\right)-x\right]=P\left(x^3\right),\forall x\in \mathbb{R}.(1)$$
a) Giả sử $P(x)$ có $\mathrm{deg}P\ge 1$ thoả mãn (1). Tính $P(0)$.
b) Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thoả mãn (1).

Cho tam giác $ABC$ nhọn và không cân. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ theo thứ tự tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Đường thẳng $IE$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm $G$ khác $E$. $BG$ cắt $AC$ tại $K$. Gọi $N$ là trung điểm của $AC$.
a) Chứng minh rằng $NE=NK$.
b) Đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ theo thứ tự cắt các đường thẳng $BE,BN,BG$ tại $S,P,T$ khác $B$. Gọi $M$ là trung điểm $ST$. Chứng minh rằng các điểm $M,N,O,P$ cùng thuộc một đường tròn.