Trong không gian $Oxyz$, gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại ba điểm $A(2;0;0)$, $B(0;-3;0)$, $C(0;0;4)$. Phương trình của mặt phẳng $(\alpha )$ là

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức $2-3i$ có tọa độ là

Cho ${\int }_1^{2}f(x)dx=1$ và ${\int }_1^{4}f(x)dx=-3$. Giá trị của ${\int }_2^{4}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{3x+1}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Với $x$ là số thực dương tùy ý, $x\sqrt{x^5}$ bằng

Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước $2;3;5$ bằng

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin (\pi -x)$ và $F(\pi )=1$. Giá trị $F\left(\frac{\pi }{2}\right)$ bằng

Với $x$ là số thực dương, đạo hàm của hàm số $y={\log }_{2}x$ là

Số phức liên hợp của số phức $z=2-3i$ là

Đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+3$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Tích phân $I={\int }_0^{2}2e^{2x}dx$ bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${\log }_2(16a)$ bằng

Nghiệm của phương trình ${\log }_3(2x+1)=2$ là

Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $a$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm $f^{\prime }(x)$ như sau:



Hàm số $f(x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Công thức tính thể tích $V$ của khối trụ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là

Hàm số nào dưới đây có đồ thị dạng như đường cong trong hình bên?

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(3;-2;5)$, $B(-2;1;-3)$ và $C(5;1;1)$. Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ là

Nghiệm của phương trình $3^{2x+3}=243$ là

Cho hai số phức $z_1=3-2i$ và $z_2=2-3i$. Số phức $z_1+z_2$ bằng

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{1-x}$ là đường thẳng:

Cho số phức $z=3-2i$. Môđun của số phức $z+1-i$ bằng

Trong mặt phẳng cho một tập hợp $P$ gồm $7$ điểm, trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có $3$ đỉnh đều thuộc $P$?

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z-2=0$ có tâm và bán kính lần lượt là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị trên đoạn $[-2;1]$ như hình vẽ bên dưới. Giá trị ${\max }_{[-2;1]}|f(x)|$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau $d:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=1\end{array}$ và $d^{\prime }:\frac{x-2}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{1}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ là

Tập nghiệm của bất phương trình $5^{12-x^2}\ge 125$ là

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ cạnh đáy bằng $a$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\frac{3a}{4}$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ với mặt phẳng đáy $(ABC)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(2;-1;6)$, $B(-3;-1;-4)$, $C(5;-1;0)$ và $D(1;2;1)$. Độ dài chiều cao của tứ diện $ABCD$ kẻ từ đỉnh $A$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh bằng $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng $60^{\circ }$ (tham khảo hình bên dưới). Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):x-2y+3z-4=0$ và $(Q):3x+2y-5z-4=0$. Giao tuyến của $(P)$ và $(Q)$ có phương trình tham số là

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|2z-\bar{z}|=\sqrt{13}$ và $(1+2i)z$ là số thuần ảo?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=81$ và mặt phẳng $(\alpha ):2x-2y-z+9=0$. Tâm $H$ của đường tròn giao tuyến của $(S)$ và $(\alpha )$ nằm trên đường thẳng nào sau đây?

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài cạnh bên bằng $a$ và diện tích đáy bằng $a^2$ (tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng

Một khối nón có chiều cao bằng $12$, đặt trên đáy một hình trụ (các đáy của chúng nằm trên cùng một mặt phẳng, như hình vẽ bên dưới), biết đường kính đáy khối nón bằng bán kính đáy hình trụ. Hình trụ được đổ nước vào cho đến độ cao bằng $12$. Độ cao của nước khi đã lấy khối nón ra ngoài hình trụ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn $f(1)=1$ và ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$. Tích phân ${\int }_0^1{f}^{\prime }(\sqrt{x})dx$ bằng

Cho hai hàm $f(x)$ và $g(x)$ có đạo hàm trên $[1;2021]$, thỏa mãn $f(2021)=g(2021)=0$, $\frac{x}{(x+1{)}^2}g(x)+2020x=(x+1)f^{\prime }(x)$ và $\frac{x^3}{x+1}{g}^{\prime }(x)+f(x)=2021x^2$ với mọi $x\in [1;2021]$. Tích phân ${\int }_1^{2021}\left[\frac{x}{x+1}g(x)-\frac{x+1}{x}f(x)\right]dx$ bằng

Cho $f(x)$ là hàm số bậc ba thỏa mãn $f(0)=2$ và $f^{\prime }(1)=0$. Hàm số $f^{\prime }(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Hàm số $g(x)=\left|f^3(|x|)-3f^2(|x|)-2021\right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hàm số $f(x)$, đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=12f(2x)+32x^3+12x^2-12x+2021$ trên đoạn $\left[-\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right]$ bằng

Có bao nhiêu số nguyên $a$ ($a\ge 2$) sao cho tồn tại số thực $x$ thỏa mãn $\ln \left(a^{\log x^4}+4a^{\log x^2}+4\right)=\frac{\ln (x-2)}{\log a}$?

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới $f(1)=0$; $f^{\prime \prime }\left(\frac{2}{3}\right)=0$ và $f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{20}{27}$. Biết hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại hai điểm $x_1,x_2$ thỏa mãn $3x_2-6x_1=3\sqrt{7}-2$. Gọi $S_1$ và $S_2$ là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên dưới. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z|=2$, $|iw-2+5i|=1$. Giá trị nhỏ nhất của $|z^2-wz-4|$ bằng

Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ thỏa mãn $\left(\sqrt{1+{\ln }^{2}a}+\ln a\right)\left(\sqrt{1+(a-3{)}^2}+a-3\right)\le 1$?

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ các đỉnh $A(1;1;1)$, $B(2;0;2)$, $C(-1;-1;0)$, $D(0;3;4)$. Trên các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ thỏa mãn $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}+\frac{AD}{AP}=6$. Viết phương trình mặt phẳng $(MNP)$, biết khối tứ diện $AMNP$ có thể tích nhỏ nhất.