Có bao nhiêu số nguyên $a$ ($a\ge 2$) sao cho tồn tại số thực $x$ thỏa mãn $\ln \left(a^{\log x^4}+4a^{\log x^2}+4\right)=\frac{\ln (x-2)}{\log a}$?

Điều kiện: $x>2$. Phương trình tương đương $2\ln \left(a^{2\log x}+2\right)=\frac{\ln (x-2)}{\log a}⟺2\log a\cdot \ln \left(a^{2\log x}+2\right)=\ln (x-2)$. Đặt $t=a^{2\log x}+2>2$, ta có $t-2=a^{2\log x}⟹\log (t-2)=2\log x\cdot \log a⟹2\log a=\frac{\log (t-2)}{\log x}=\frac{\ln (t-2)}{\ln x}$. Thay vào phương trình ta được $\ln t\cdot \ln (t-2)=\ln x\cdot \ln (x-2)$. Vì $t-2=a^{2\log x}>1$ (do $x>2,a\ge 2$) nên $t>3$, và hàm số $\phi (u)=\ln u\cdot \ln (u-2)$ đồng biến trên $(3;+\infty )$, suy ra $t=x$ (với $x>3$), tức là $a^{2\log x}=x-2⟺x^{2\log a}=x-2$. Để phương trình $x^{2\log a}=x-2$ có nghiệm $x>2$, điều kiện cần và đủ là $2\log a<1⟺\log a<\frac{1}{2}⟺a<\sqrt{10}\approx 3,16$. Vì $a\in \mathbb{Z},a\ge 2$ nên $a\in \{2;3\}$, có $2$ giá trị nguyên của $a$.