Cho hàm số $f(x)$, đồ thị của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=12f(2x)+32x^3+12x^2-12x+2021$ trên đoạn $\left[-\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right]$ bằng

Đặt $t=2x\in [-3;1]$, khi đó $h(t)=g\left(\frac{t}{2}\right)=12f(t)+4t^3+3t^2-6t+2021$. Ta có $h^{\prime }(t)=12\left[f^{\prime }(t)+t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}\right]=12\left[f^{\prime }(t)-\left(-t^2-\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\right)\right]$. Parabol $y=-t^2-\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}$ đi qua các điểm $(-3;-7)$, $(-1;0)$, $(1;-1)$ thuộc đồ thị $y=f^{\prime }(t)$. Trên $(-3;-1)$ đồ thị $f^{\prime }(t)$ nằm trên parabol nên $h^{\prime }(t)>0$; trên $(-1;1)$ đồ thị $f^{\prime }(t)$ nằm dưới parabol nên $h^{\prime }(t)<0$. Vậy $h(t)$ đạt giá trị lớn nhất trên $[-3;1]$ tại $t=-1$ (tức $x=-\frac{1}{2}$), bằng $h(-1)=12f(-1)-4+3+6+2021=12f(-1)+2026$.