Cho $f(x)$ là hàm số bậc ba thỏa mãn $f(0)=2$ và $f^{\prime }(1)=0$. Hàm số $f^{\prime }(x)$ có bảng biến thiên như sau:



Hàm số $g(x)=\left|f^3(|x|)-3f^2(|x|)-2021\right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Vì $f^{\prime }(x)$ là tam thức bậc hai đạt cực tiểu tại $x=0$ với $f^{\prime }(0)=-3$ và $f^{\prime }(1)=0$, ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-3$. Kết hợp $f(0)=2$ suy ra $f(x)=x^3-3x+2$. Xét $p(x)=f^3(x)-3f^2(x)-2021$ trên $(0;+\infty )$, ta có $p^{\prime }(x)=3f^{\prime }(x)f^2(x)-6f^{\prime }(x)f(x)=3f^{\prime }(x)f(x)(f(x)-2)$. Trên $(0;+\infty )$, $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$, $f(x)=(x-1{)}^2(x+2)$ và $f(x)-2=x(x^2-3)$, nên $p^{\prime }(x)=9x(x+1)(x+2)(x-1{)}^3(x^2-3)$ đổi dấu qua $2$ điểm cực trị dương là $x=1$ và $x=\sqrt{3}$. Do đó hàm chẵn $h(x)=p(|x|)$ có $2\cdot 2+1=5$ điểm cực trị, với $h(0)=-2025$, $h(\pm 1)=-2021$, $h(\pm \sqrt{3})=-2025$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }h(x)=+\infty$. Suy ra phương trình $h(x)=0$ có đúng $2$ nghiệm đơn (một âm, một dương), nên hàm số $g(x)=|h(x)|$ có $5+2=7$ điểm cực trị.