Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|2z-\bar{z}|=\sqrt{13}$ và $(1+2i)z$ là số thuần ảo?

Đặt $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$). Ta có $(1+2i)z=(a-2b)+(2a+b)i$ là số thuần ảo khi và chỉ khi $a-2b=0⟺a=2b$. Mặt khác, $2z-\bar{z}=a+3bi$ nên $|2z-\bar{z}|=\sqrt{13}⟺a^2+9b^2=13$. Thay $a=2b$ vào ta được $13b^2=13⟺b=\pm 1$, suy ra có $2$ số phức thỏa mãn là $z=2+i$ và $z=-2-i$.