Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;-1;0)$ và mặt phẳng $(P):x-2y+z+1=0$. Phương trình của mặt phẳng $(Q)$ đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(P)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;-3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-2y-z+12=0$. Phương trình của $(S)$ là

Cho hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n}(a,b,c,m,n\in \mathbb{R};am\ne 0)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=e^x$, các đường thẳng $x=0,x=\ln 3$ và trục hoành. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi $(H)$ khi quay quanh trục hoành là

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(1;2;1),B(-3;0;3),C(2;4;-1)$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Cô Hà thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào $6$ năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng sau:
$\begin{array}{cccccc}\text{Đường kıˊnh (cm)}& [40;45)& [45;50)& [50;55)& [55;60)& [60;65)\\ \text{Taˆˋn soˆˊ}& 5& 20& 18& 7& 3\end{array}$
Hãy tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=3\cos x-4\sin x$ là

Cho hàm số $y=f(x)=\frac{3x-7}{x-1}$ có đồ thị là $(C)$.

Một cửa hàng điện tử bán hai loại tai nghe không dây, trong đó có $60\%$ tai nghe màu đen và $40\%$ tai nghe màu trắng. Tỉ lệ tai nghe màu đen bị lỗi là $1,5\%$, còn tỉ lệ tai nghe màu trắng bị lỗi là $4\%$. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên $1$ tai nghe từ cửa hàng. Xét các biến cố:
$A$: “Khách hàng chọn được tai nghe màu đen”;
$B$: “Khách hàng chọn được tai nghe không bị lỗi”.

Cận kề ngày Tết Nguyên Đán, bác Lộc muốn thiết kế một đèn lồng cao $40\text{ cm}$ để treo lên cây Nêu. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao vuông góc với trục thẳng đứng của đèn lồng luôn là một hình vuông (xem hình vẽ). Mặt đáy và đỉnh của đèn lồng là hình vuông có cạnh $L_0=10\sqrt{2}\text{ (cm)}$. Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất của đèn lồng là hình vuông (hình vuông có diện tích lớn nhất) có cạnh $L_{\max }=14\sqrt{2}\text{ (cm)}$. Mặt cắt của đèn lồng theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của đèn lồng. Một đường cong Parabol $(P):y=f(x)$ trong bốn đường cong để tạo ra khung đèn lồng được gắn trong hệ trục $Oxy$ với trục $Ox$ biểu diễn chiều cao của chiếc đèn lồng (đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ cm}$).

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;1;2),B(3;3;0),C(2;0;1)$.

Cho tứ diện $ABCD$ có $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}=90^{\circ }$, $BC=CD=a$, $AD=a\sqrt{2}$. Số đo góc phẳng nhị diện $[B,AC,D]$ là $m^{\circ }$. Tính $2m$.

Một doanh nghiệp tư nhân dự định sản xuất một loại linh kiện điện tử với số lượng không quá $300$ sản phẩm. Nếu doanh nghiệp bán được $x$ sản phẩm thì tổng doanh thu thu về (đơn vị: đồng) được tính theo công thức $f(x)=x^3-1200x^2+150000x+50000$. Chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm (đơn vị: đồng) được tính theo công thức $C(x)=2000+x+\frac{40000}{x}$. Hỏi doanh nghiệp cần bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu về là lớn nhất?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với độ dài $10\text{ km}$. Một trạm radar cố định được đặt ở gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và có thể phát hiện được các vật thể trong phạm vi bán kính không quá $50\text{ km}$. Một tàu cứu hộ di chuyển theo đường thẳng từ vị trí $M(4;6;-1)$ đến vị trí $N(-1;-4;4)$ với vận tốc không đổi là $60\text{ km/h}$. Hỏi tàu cứu hộ nằm trong vùng phủ sóng của trạm radar trong khoảng thời gian bao nhiêu phút? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)

Một công ty trong một lần quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hoá (một sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở $140$ người và $9$ tấn hàng. Nơi cho thuê chỉ có hai loại xe $A$ và $B$. Trong đó, xe loại $A$ có $10$ chiếc và xe loại $B$ có $9$ chiếc. Một chiếc xe loại $A$ được cho thuê với giá $4$ triệu đồng và chỉ chở được tối đa $20$ người và $0,6$ tấn hàng. Một chiếc xe loại $B$ được cho thuê với giá $3$ triệu đồng và chỉ chở được tối đa $10$ người và $1,5$ tấn hàng. Hỏi chi phí thuê xe thấp nhất là bao nhiêu triệu đồng? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, kết quả cuối cùng được ghi dưới dạng số nguyên)

Trong một trò chơi, có $20$ chiếc đèn được bố trí cách đều nhau trên một vòng tròn lớn (như hình vẽ). Khi người chơi bấm nút, hệ thống máy tính sẽ chọn ngẫu nhiên $3$ chiếc đèn để thắp sáng đồng thời. Nếu xuất hiện tam giác tạo bởi $3$ bóng đèn được thắp sáng là vuông hoặc cân thì người chơi được nhận một phần quà. Mỗi người chơi thực hiện $5$ lần bấm nút. Gọi $P$ là xác suất để một người chơi may mắn giành được đúng $1$ phần quà. Tính $10^4\cdot P$ (không làm tròn kết quả ở các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Một nghệ nhân tại làng nghề đúc đồng, nhận chế tác các mẫu đôn trang trí cao cấp bằng đồng. Mỗi chiếc đôn có dạng khối tròn xoay đặc, cao $50\text{ cm}$, với thiết kế mềm mại và cân đối quanh một trục thẳng đứng (xem hình vẽ bên dưới). Khi cắt chiếc đôn bởi một mặt cắt bất kỳ đi qua trục đối xứng, ta thu được một thiết diện giới hạn bởi hai đường parabol đối xứng nhau qua trục này. Theo yêu cầu thiết kế: Mặt trên và mặt đáy của đôn đều là hình tròn có đường kính $40\text{ cm}$; phần thân được bo thon đều về phía trung tâm, tại đó đường kính nhỏ nhất là $30\text{ cm}$. Biết khối lượng riêng của đồng là $8960{\text{ kg/m}}^3$, giá đồng là $220$ nghìn đồng cho mỗi kilôgam và chi phí gia công cho mỗi sản phẩm là $10$ triệu đồng (lượng đồng hao hụt trong quá trình gia công được xem là không đáng kể). Tổng chi phí để hoàn thiện một chiếc đôn theo thiết kế trên là bao nhiêu triệu đồng? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)