Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ với $a,b,c,d$ là các số thực, có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(e^{x^2})=m$ có ba nghiệm phân biệt?


Đặt $t=e^{x^2}$. Vì $x^2\ge 0$ nên $t\ge 1$.
- Với mỗi giá trị $t>1$, phương trình $e^{x^2}=t⟺x^2=\ln t>0$ cho đúng 2 nghiệm phân biệt $x=\pm \sqrt{\ln t}$.
- Với $t=1$, phương trình $e^{x^2}=1⟺x=0$ cho đúng 1 nghiệm $x=0$.
Để phương trình $f(e^{x^2})=m$ có 3 nghiệm phân biệt $x$, thì phương trình $f(t)=m$ phải có đúng 1 nghiệm $t=1$ và 1 nghiệm $t>1$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(t)$:
- Tại $t=1$, hàm số đạt cực tiểu và $f(1)=1$.
- Đường thẳng $y=1$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực tiểu $(1;1)$ (cho $t=1⟹1$ nghiệm $x=0$) và cắt đồ thị tại một điểm $t_2>3>1$ (cho 2 nghiệm $x=\pm \sqrt{\ln t_2}$).
- Tổng cộng ta có đúng $1+2=3$ nghiệm phân biệt $x$.
Nếu $m\ne 1$, không thể có đồng thời một nghiệm $t=1$ và một nghiệm $t>1$.
Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị nguyên $m=1$ thỏa mãn bài toán. Chọn C.