(0, điểm) Giải phương trình: $2{\sin }^{2}x-1+\cos 3x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2{\sin }^{2}x-1=-\cos 2x$ (do $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$). Phương trình trở thành $-\cos 2x+\cos 3x=0$, tức $\cos 3x=\cos 2x$.

Trường hợp 1: $3x=2x+k2\pi \Rightarrow x=k2\pi$.

Trường hợp 2: $3x=-2x+k2\pi \Rightarrow 5x=k2\pi \Rightarrow x=\frac{2k\pi }{5}$.

Thử lại: với $x=2k\pi$, $\sin x=0$, $\cos 3x=1$ nên $0-1+1=0$ ✓; với $x=\frac{2k\pi }{5}$, do $\cos \frac{6k\pi }{5}=\cos \frac{4k\pi }{5}$ (vì $\frac{6k\pi }{5}+\frac{4k\pi }{5}=2k\pi$) nên $\cos 3x=\cos 2x$, và $2{\sin }^{2}x-1=-\cos 2x$ nên phương trình thỏa ✓.

Vậy tập nghiệm: $S=\left\{\frac{2k\pi }{5},k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Lưu ý họ $x=k2\pi$ đã bao gồm trong họ $x=\frac{2k\pi }{5}$ khi $k$ chia hết cho 5, nên có thể viết gọn $S=\left\{\frac{2k\pi }{5}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.