(0,4 điểm) Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{2x+3}-1}{3x^2-x-4}& ;x>-1\\ mx+1& ;x\le -1\end{array}$

Tìm các giá trị của $m$ để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(-1)=m(-1)+1=1-m$.

Tính giới hạn phải: $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{2x+3}-1}{3x^2-x-4}$. Đây là dạng $\frac{0}{0}$ vì tại $x=-1$: tử $=\sqrt{1}-1=0$, mẫu $=3+1-4=0$.

Rút gọn:
$$\sqrt{2x+3}-1=\frac{(2x+3)-1}{\sqrt{2x+3}+1}=\frac{2(x+1)}{\sqrt{2x+3}+1},$$
và $3x^2-x-4=(x+1)(3x-4)$.
Do đó:
$$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{2x+3}-1}{3x^2-x-4}=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{2(x+1)}{(x+1)(3x-4)\left(\sqrt{2x+3}+1\right)}=\frac{2}{(3(-1)-4)(1+1)}=\frac{2}{-14}=-\frac{1}{7}.$$

Hàm số liên tục tại $x=-1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=f(-1)$:
$$1-m=-\frac{1}{7}\Rightarrow m=1+\frac{1}{7}=\frac{8}{7}.$$

Vậy $m=\frac{8}{7}$.