(0,5 điểm) Một công viên được thiết kế trong đó có dựng các cột đèn chiếu sáng theo hình lục giác đều như hình sau.



Người ta muốn trồng cỏ thảm sao cho các đền $A_2,A_3,A_5,A_6$ nằm ở mép ngoài của thảm và từ bất kì một vị trí nào của mép ngoài thảm cỏ được trồng có tổng khoảng cách đến các đền $A_1,A_4$ đều bằng tổng khoảng cách từ một trong các trụ đèn còn lại đến hai cột $A_1,A_4$. Em hãy xác định đường viền mép ngoài của thảm cỏ, biết khoảng cách giữa hai cột đèn liên tiếp bằng $50m$.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là bài toán về định nghĩa elip: tập các điểm M có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm A₁, A₄ không đổi là một elip nhận A₁, A₄ làm tiêu điểm. Lục giác đều cạnh 50m nên đường chéo lớn A₁A₄ = 2·50 = 100m, tức 2c = 100 ⇒ c = 50. Điểm A₂ thuộc mép thảm nên tổng khoảng cách hằng số là MA₁ + MA₄ = A₂A₁ + A₂A₄ = 50 + 50√3 = 2a ⇒ a = 25(1+√3). Khi đó b² = a² − c² = 625(4+2√3) − 2500 = 1250√3 ⇒ b = 25√(2√3) ≈ 46,53m. Vậy mép ngoài thảm cỏ là cung elip đi qua A₂, A₃, A₅, A₆ với hai tiêu điểm A₁, A₄, trục lớn 2a = 50(1+√3) ≈ 136,6m, trục nhỏ 2b = 50√(2√3) ≈ 93,1m.