(0,5 điểm). Tìm $m$ để hàm số $y=x^2+2mx+m^2-2m$ có giá trị nhỏ nhất bằng 4 trên đoạn $[-1;1]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=x^2+2mx+m^2-2m=(x+m{)}^2-2m$, hoành độ đỉnh $x=-m$, hệ số $a=1>0$ nên parabol hướng lên. Xét ba trường hợp trên đoạn $[-1;1]$:

TH1: $-m\in [-1;1]⟺m\in [-1;1]$. Khi đó $\min y=-2m=4\Rightarrow m=-2\notin [-1;1]$, loại.

TH2: $-m<-1⟺m>1$. Hàm số nghịch biến trên $[-1;1]$ nên $\min y=y(-1)=1-2m+m^2-2m=m^2-4m+1=4\Rightarrow m^2-4m-3=0\Rightarrow m=2\pm \sqrt{7}$. Vì $m>1$ nên $m=2+\sqrt{7}$ (thỏa mãn).

TH3: $-m>1⟺m<-1$. Hàm số đồng biến trên $[-1;1]$ nên $\min y=y(1)=1+2m+m^2-2m=m^2+1=4\Rightarrow m^2=3\Rightarrow m=\pm \sqrt{3}$. Vì $m<-1$ nên $m=-\sqrt{3}$ (thỏa mãn).

Kết luận: $m=2+\sqrt{7}$ hoặc $m=-\sqrt{3}$.