1) Giải phương trình: $3+6\cos x-{\tan }^{2}x-2\tan x\cdot \sin x=0$.

2) Một cây cầu có dạng cung OA của đồ thị hàm số $y=4,8\sin \frac{x}{9}$ và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như ở hình vẽ.



Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao $2,4\sqrt{3}(m)$ so với mặt nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn $3\pi (m)$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 1.1) Giải phương trình $3+6\cos x-{\tan }^{2}x-2\tan x\sin x=0$.**

Điều kiện: $\cos x\ne 0$.

Viết ${\tan }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$, $2\tan x\sin x=\frac{2{\sin }^{2}x}{\cos x}$. Nhân hai vế với ${\cos }^{2}x>0$:
$$3{\cos }^{2}x+6{\cos }^{3}x-{\sin }^{2}x-2{\sin }^{2}x\cos x=0.$$

Thay ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, đặt $c=\cos x$:
$$3c^2+6c^3-(1-c^2)-2c(1-c^2)=0⟺8c^3+4c^2-2c-1=0.$$

Phân tích: $8c^3+4c^2-2c-1=4c^2(2c+1)-(2c+1)=(2c+1)(4c^2-1)=(2c-1)(2c+1{)}^2=0$.

- $\cos x=\frac{1}{2}⟺x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$.
- $\cos x=-\frac{1}{2}⟺x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$ (thử lại thỏa mãn, ví dụ $\cos x=-\frac{1}{2}$: $3-3-{\tan }^{2}x-2\tan x\sin x=-3+3=0$).

Kết luận: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

**Câu 1.2) Chứng minh chiều rộng khối hàng nhỏ hơn $3\pi$ m.**

Cung cầu OA: $y=4,8\sin \frac{x}{9}$ với $0\le x\le 9\pi$ (giao điểm kế tiếp với trục Ox là $A(9\pi ;0)$).

Khối hàng cao $2,4\sqrt{3}$ m, để đi qua gầm cầu, tại hai mép của khối hàng (hoành độ $x$) phải có khoảng cách từ mặt nước đến cung cầu ít nhất bằng chiều cao khối hàng:
$$4,8\sin \frac{x}{9}\ge 2,4\sqrt{3}⟺\sin \frac{x}{9}\ge \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Với $0\le \frac{x}{9}\le \pi$, điều này tương đương $\frac{\pi }{3}\le \frac{x}{9}\le \frac{2\pi }{3}$, tức $3\pi \le x\le 6\pi$.

Khối hàng là hình hộp chữ nhật, khi đi qua gầm cầu (giữa nhịp cầu) tập hợp các hoành độ chiếm chỗ của nó là đoạn $[a,b]\subset [3\pi ,6\pi ]$ với độ dài $b-a$ bằng chiều rộng $w$ của khối hàng. Vì $[3\pi ,6\pi ]$ có độ dài $3\pi$ nên $w\le 3\pi$. Hơn nữa, để sà lan thực sự di chuyển qua được (khối hàng trôi qua vùng gầm cầu), đoạn chiếm chỗ phải nằm hoàn toàn trong khoảng hở $(3\pi ,6\pi )$ tại mọi thời điểm, do đó
$$w<3\pi (\text{m}).$$

Vậy chiều rộng của khối hàng hóa phải nhỏ hơn $3\pi$ m. Đpcm.