1) Tìm giới hạn $\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x+\sqrt{2x+15}}{-2x^2-5x+3}$.

2) Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi: $\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2^n},(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })\end{array}$. Tính $\lim \left(u_n-2\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3.

1) Thay $x=-3$: tử số $-3+\sqrt{2(-3)+15}=-3+3=0$; mẫu số $-2(9)-5(-3)+3=-18+15+3=0$. Đây là dạng $\frac{0}{0}$.

Rút gọn mẫu: $-2x^2-5x+3=-(2x^2+5x-3)=-(2x-1)(x+3)$.

Nhân liên hợp tử số:
$$x+\sqrt{2x+15}=\frac{x^2-(2x+15)}{x-\sqrt{2x+15}}=\frac{x^2-2x-15}{x-\sqrt{2x+15}}=\frac{(x-5)(x+3)}{x-\sqrt{2x+15}}.$$

Do đó:
$$\underset{x\to -3}{\lim }\frac{(x-5)(x+3)}{(x-\sqrt{2x+15})\cdot (-(2x-1)(x+3))}=\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x-5}{-(2x-1)(x-\sqrt{2x+15})}.$$

Thay $x=-3$: $\frac{-8}{-(2(-3)-1)(-3-3)}=\frac{-8}{-(-7)(-6)}=\frac{-8}{-42}=\frac{4}{21}$.

Vậy $\underset{x\to -3}{\lim }\frac{x+\sqrt{2x+15}}{-2x^2-5x+3}=\frac{4}{21}$.

2) Với $n\ge 2$, cộng dồn:
$$u_n=u_1+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^k}=1+\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)}{1-\frac{1}{2}}=1+1-\frac{1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}.$$

(Công thức đúng cả với $n=1$: $u_1=2-1=1$.)

Suy ra $u_n-2=-\frac{1}{2^{n-1}}\to 0$ khi $n\to \infty$.

Vậy $\lim \left(u_n-2\right)=0$.