Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AB\parallel CD$ và $AB=2CD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Lấy $E$ thuộc cạnh $SA$, $F$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $\frac{SE}{SA}=\frac{SF}{SC}=\frac{2}{3}$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $O$ và song song với mặt phẳng $(BEF)$.
a) Xác định giao điểm của $SD$ với $(\alpha )$.
b) Gọi $P$ là giao điểm của $SD$ với $(\alpha )$. Tính tỉ số $\frac{SP}{SD}$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 4.** Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình thang $AB\parallel CD$, $AB=2CD$; $O=AC\cap BD$; $\frac{SE}{SA}=\frac{SF}{SC}=\frac{2}{3}$; $(\alpha )$ qua $O$ và $(\alpha )\parallel (BEF)$.

**a) Xác định giao điểm $P$ của $SD$ với $(\alpha )$:**

- Vì $\frac{SE}{SA}=\frac{SF}{SC}=\frac{2}{3}$ nên trong mặt phẳng $(SAC)$ ta có $EF\parallel AC$.
- Trong $(SAC)$, gọi $I=SO\cap EF$. Vì $EF\parallel AC$ nên $\frac{SI}{SO}=\frac{SE}{SA}=\frac{2}{3}$, tức $I$ nằm giữa $S$ và $O$ với $SI=\frac{2}{3}SO$.
- Ta có $I\in EF\subset (BEF)$ và $I\in SO\subset (SBD)$, còn $B\in (BEF)\cap (SBD)$, do đó $(BEF)\cap (SBD)=BI$.
- Vì $(\alpha )\parallel (BEF)$ nên $(\alpha )\cap (SBD)$ là đường thẳng qua $O$ và song song với $BI$; đường thẳng này cắt $SD$ tại $P$.
- Vậy $P=SD\cap (\alpha )$ là giao điểm của $SD$ với đường thẳng qua $O$ song song với $BI$ (trong mặt phẳng $(SBD)$).

**b) Tính $\frac{SP}{SD}$:**

Vì $AB\parallel CD$, $AB=2CD$, tam giác $OAB\sim OCD$ (so le trong) nên $\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=2$, suy ra $\frac{DO}{DB}=\frac{1}{3}$.

Trong $(SBD)$, qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $BI$, cắt $SB$ tại $R$ và cắt $SD$ tại $P$.

- Xét tam giác $SBI$ có $O\in SI$ và $OR\parallel BI$ nên $\frac{SR}{RB}=\frac{SO}{OI}=\frac{SO}{\frac{1}{3}SO}=3$, tức $\frac{SR}{SB}=\frac{3}{4}$.
- Xét tam giác $SBD$ với cát tuyến $R,O,P$ ($R\in SB$, $O\in BD$, $P\in SD$ thẳng hàng), theo Menelaus:
$$\frac{SR}{RB}\cdot \frac{BO}{OD}\cdot \frac{DP}{PS}=1\Rightarrow 3\cdot 2\cdot \frac{DP}{PS}=1\Rightarrow \frac{DP}{PS}=\frac{1}{6}.$$
- Suy ra $PS=6DP$ và $SD=DP+PS=7DP$, do đó $\frac{SP}{SD}=\frac{6}{7}$.

**Kiểm tra bằng tọa độ:** Đặt $S$ làm gốc, $\overrightarrow{SA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{SC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$. Vì $AO:OC=2:1$ nên $O=\frac{\vec{a}+2\vec{c}}{3}$; từ $O=\frac{\vec{B}+2\vec{D}}{3}$ suy ra $\overrightarrow{SD}=\frac{\vec{a}+2\vec{c}-\vec{b}}{2}$. Mặt $(BEF)$ có hai vectơ chỉ phương $\vec{u}=\frac{2}{3}\vec{a}-\vec{b}$, $\vec{v}=\frac{2}{3}\vec{c}-\vec{b}$. Điều kiện $P=t\overrightarrow{SD}\in (\alpha )$ tức $t\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{SO}\in \text{span}\{\vec{u},\vec{v}\}$ dẫn đến $t=\frac{6}{7}$. Hai cách tính khớp nhau.

**Kết luận:**
- a) Giao điểm $P$ của $SD$ với $(\alpha )$ được xác định như sau: trong $(SAC)$ lấy $I=SO\cap EF$; trong $(SBD)$, giao tuyến $(BEF)\cap (SBD)=BI$; qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $BI$ cắt $SD$ tại $P$.
- b) $\frac{SP}{SD}=\frac{6}{7}$.