(1,0 điểm) Cho phương trình ${\left({\log }_3\left(\frac{x}{3}\right)\right)}^2+3m{\log }_{3}x+2m^2-2m-1=0$, ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ lớn hơn $-2024$ sao cho phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $x_1+x_2>10$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{3}x$ với $x>0$, khi đó ${\log }_3\frac{x}{3}=t-1$. Phương trình trở thành
$$(t-1{)}^2+3mt+2m^2-2m-1=0⟺t^2+(3m-2)t+2m^2-2m=0.$$
Biệt thức $\Delta =(3m-2{)}^2-4(2m^2-2m)=m^2-4m+4=(m-2{)}^2\ge 0$ với mọi $m$.

- Nếu $m\ne 2$ thì $\Delta >0$, phương trình theo $t$ có hai nghiệm phân biệt $t_1\ne t_2$, do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1=3^{t_1},x_2=3^{t_2}>0$.
- Nếu $m=2$ thì $\Delta =0$, phương trình có nghiệm kép $t=-2$, tức $x=\frac{1}{9}$ (nghiệm kép), không thỏa mãn yêu cầu hai nghiệm phân biệt. Vậy cần $m\ne 2$.

Theo Vi-ét: $t_1+t_2=2-3m$, $t_1{t}_2=2m^2-2m$.

Với $m\ne 2$, hai nghiệm theo $t$ là
$$t_{1,2}=\frac{(2-3m)\pm |m-2|}{2}.$$
- Nếu $m<2$: $t_1=2-2m$, $t_2=-m$.
- Nếu $m>2$: $t_1=-m$, $t_2=2-2m$.

Vậy trong cả hai trường hợp, $x_1+x_2=3^{2-2m}+3^{-m}$.

Đặt $u=3^{-m}>0$, khi đó $x_1+x_2=9u^2+u$. Hàm $9u^2+u$ đồng biến theo $u>0$, mà $u=3^{-m}$ nghịch biến theo $m$, nên $x_1+x_2$ nghịch biến theo $m$ trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

Điều kiện $x_1+x_2>10$:
$$9u^2+u>10⟺9u^2+u-10>0⟺(u-1)(9u+10)>0⟺u>1$$
(vì $u>0$ nên $9u+10>0$). Do đó $3^{-m}>1⟺-m>0⟺m<0$.

Kiểm tra:
- Với $m=0$: $t^2-2t=0\Rightarrow t=0,t=2$, nên $x_1+x_2=1+9=10$, không thỏa mãn $x_1+x_2>10$.
- Với $m=-1$: $t^2-5t+4=0\Rightarrow t=1,t=4$, nên $x_1+x_2=3+81=84>10$: thỏa mãn.
- Với $m=1$: $t^2+t=0\Rightarrow t=0,t=-1$, nên $x_1+x_2=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}<10$: không thỏa mãn.

Vậy $x_1+x_2>10⟺m<0$ (điều kiện $m\ne 2$ tự động thỏa mãn).

Kết hợp $m>-2024$, $m$ nguyên và $m<0$: $m\in \{-2023,-2022,\dots ,-1\}$, gồm $2023$ giá trị.