(1,0 điểm) Cho tam giác $ABC$.
a) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Biểu thị vectơ $\overrightarrow{AG}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.
b) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, giả sử tam giác $ABC$ có $A(2;0)$, $B(1;1)$, $C(-2;3)$. Tìm tọa độ của hai vectơ $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$ và tọa độ của điểm $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (1,0 điểm)

a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.

Mặt khác $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

b) Với $A(2;0)$, $B(1;1)$, $C(-2;3)$:

$\overrightarrow{AC}=(-2-2;3-0)=(-4;3)$.

$\overrightarrow{BC}=(-2-1;3-1)=(-3;2)$.

Gọi $H(x;y)$ là trực tâm. Khi đó $CH\perp AB$ và $BH\perp AC$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;1)$, $\overrightarrow{CH}=(x+2;y-3)$:
$$\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{AB}=0\iff -(x+2)+(y-3)=0\iff y=x+5.$$

Ta có $\overrightarrow{AC}=(-4;3)$, $\overrightarrow{BH}=(x-1;y-1)$:
$$\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=0\iff -4(x-1)+3(y-1)=0\iff -4x+3y+1=0.$$

Thay $y=x+5$: $-4x+3x+15+1=0\iff x=16$, suy ra $y=21$.

Vậy $H(16;21)$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{AH}=(14;21)$ và $\overrightarrow{BC}=(-3;2)$, khi đó $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=14\cdot (-3)+21\cdot 2=-42+42=0$, tức $AH\perp BC$. Vậy $H(16;21)$ thỏa cả ba điều kiện $CH\perp AB$, $BH\perp AC$ và $AH\perp BC$, đúng là trực tâm tam giác $ABC$.