(1,5 điểm) Cho hình chóp $S.MNP$ có đáy $MNP$ là tam giác đều. Gọi $E$ là trung điểm của NP, biết $SE\perp (MNP)$. Gọi $A;B$ lần lượt là trung điểm của $SM$ và $SE$.
a) Chứng minh rằng $NP\perp (SME)$.
b) Xác định góc giữa $AB$ và $SN$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2 (PHẦN IV):

a) Vì $MNP$ là tam giác đều nên đường trung tuyến $ME$ cũng là đường cao, do đó $ME\perp NP$. Mặt khác $SE\perp (MNP)$ mà $NP\subset (MNP)$ nên $SE\perp NP$. Ta có $NP\perp ME$, $NP\perp SE$, với $ME,SE\subset (SME)$ và cắt nhau tại $E$, suy ra $NP\perp (SME)$.

b) Trong tam giác $SME$: $A$ là trung điểm $SM$, $B$ là trung điểm $SE$ nên $AB$ là đường trung bình của tam giác $SME$, suy ra $AB\parallel ME$. Do đó góc giữa $AB$ và $SN$ bằng góc giữa $ME$ và $SN$.

Chứng minh $ME\perp SN$: từ câu a) ta có $NP\perp (SME)$, suy ra $NP\perp ME$. Mặt khác $SE\perp (MNP)$ nên $SE\perp ME$. Vì $ME$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $NP$ và $SE$ trong mặt phẳng $(SEN)$, suy ra $ME\perp (SEN)$, do đó $ME\perp SN$.

(Kiểm tra bằng tọa độ: chọn $E$ làm gốc, $EN$ trục $Ox$, $EM$ trục $Oy$, $ES$ trục $Oz$. Giả sử cạnh đáy $a=2$, khi đó $N(1;0;0)$, $M(0;\sqrt{3};0)$, $S(0;0;h)$ với $h=SE>0$. Khi đó $\overrightarrow{ME}=(0;-\sqrt{3};0)$ và $\overrightarrow{SN}=(1;0;-h)$, nên $\overrightarrow{ME}\cdot \overrightarrow{SN}=0+0+0=0$, tức $ME\perp SN$ với mọi $h$.)

Kết luận: góc giữa đường thẳng $AB$ và $SN$ bằng $90^{\circ }$.