(1,5 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) $5^{x^2-x-4}=25$;
b) ${\log }_2(x-1{)}^2={\log }_2(x+5)$;
c) ${\log }_5(x+4)+\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{25}}(x-2{)}^4\ge 2{\log }_{25}(5x)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1 (1,5 điểm):

a) $5^{x^2-x-4}=25=5^2\iff x^2-x-4=2\iff x^2-x-6=0\iff (x-3)(x+2)=0\iff x=3$ hoặc $x=-2$.
Vậy $S=\{-2;3\}$.

b) Điều kiện: $x+5>0$ và $(x-1{)}^2>0$, tức $x>-5$ và $x\ne 1$.
Phương trình ${\log }_2(x-1{)}^2={\log }_2(x+5)\iff (x-1{)}^2=x+5\iff x^2-3x-4=0\iff x=4$ hoặc $x=-1$.
Cả hai nghiệm thỏa điều kiện. Vậy $S=\{-1;4\}$.

c) Điều kiện: $x+4>0$, $(x-2{)}^4>0\iff x\ne 2$, $5x>0\iff x>0$. Vậy điều kiện là $x>0$ và $x\ne 2$.
Ta có: $\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{25}}(x-2{)}^4=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right){\log }_5(x-2{)}^4=-\frac{1}{4}\cdot 4{\log }_5|x-2|=-{\log }_5|x-2|$; và $2{\log }_{25}(5x)={\log }_5(5x)$.
Bất phương trình trở thành:
$${\log }_5(x+4)-{\log }_5|x-2|\ge {\log }_5(5x)\iff {\log }_5\frac{x+4}{|x-2|}\ge {\log }_5(5x)$$
$$\iff \frac{x+4}{|x-2|}\ge 5x.$$

Trường hợp 1: $0<x<2$, khi đó $|x-2|=2-x>0$:
$$\frac{x+4}{2-x}\ge 5x\iff x+4\ge 5x(2-x)\iff 5x^2-9x+4\ge 0\iff (5x-4)(x-1)\ge 0.$$
Được $x\le \frac{4}{5}$ hoặc $x\ge 1$. Kết hợp $0<x<2$: $x\in \left(0;\frac{4}{5}\right]\cup [1;2)$.

Trường hợp 2: $x>2$, khi đó $|x-2|=x-2>0$:
$$\frac{x+4}{x-2}\ge 5x\iff x+4\ge 5x^2-10x\iff 5x^2-11x-4\ge 0.$$
Nghiệm của $5x^2-11x-4=0$: $x=\frac{11\pm \sqrt{201}}{10}$. Vì hệ số $5>0$ nên bất phương trình đúng khi $x\le \frac{11-\sqrt{201}}{10}$ hoặc $x\ge \frac{11+\sqrt{201}}{10}$. Kết hợp $x>2$: $x\ge \frac{11+\sqrt{201}}{10}$ (chú ý $\frac{11-\sqrt{201}}{10}<0$ loại).

Vậy tập nghiệm $S=\left(0;\frac{4}{5}\right]\cup [1;2)\cup \left[\frac{11+\sqrt{201}}{10};+\infty \right)$.