(2,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thang, $AB\parallel CD$ và $AB=2CD$, gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$, $E$ là giao điểm của $IM$ và $SD$, $F$ là giao điểm của $IN$ và $SC$. Chứng minh $EF\parallel MN$.

c) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$. Chứng minh $OG\parallel (SAD)$.

d) Điểm $H$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $HB=2HC$. Chứng minh $(EFH)\parallel (SAB)$.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải Câu 25 (2,0 điểm):

a) Trong mặt phẳng $(ABCD)$ ta có $AB\parallel CD$ với $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$, và $AB$ không cắt $CD$. Xét $S$ là điểm chung của $(SAB)$ và $(SCD)$. Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với $AB$ (đồng thời song song với $CD$).

b) Vì $AB\parallel CD$ và $AB=2CD$, tam giác $IAB$ đồng dạng với tam giác $IDC$ (cùng góc tại $I$ và góc đồng vị), suy ra $\frac{IA}{ID}=\frac{IB}{IC}=\frac{AB}{CD}=2$. Chọn hệ vectơ gốc $I$: đặt $\overrightarrow{IA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{IB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{IS}=\vec{s}$ thì $\overrightarrow{ID}=\frac{1}{2}\vec{a}$, $\overrightarrow{IC}=\frac{1}{2}\vec{b}$.

Ta có $M$ là trung điểm $SA$: $\overrightarrow{IM}=\frac{\vec{s}+\vec{a}}{2}$. Gọi $E=IM\cap SD$, viết $\overrightarrow{IE}=t(\vec{s}+\vec{a})/2=\vec{s}+u(\vec{a}/2-\vec{s})$. Đối chiếu hệ số theo $\vec{s},\vec{a}$ (độc lập): $t/2=1-u$ và $t/2=u/2\Rightarrow t=u=2/3$. Vậy $\overrightarrow{IE}=\frac{\vec{s}+\vec{a}}{3}$, tức $\overrightarrow{SE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{SD}$.

Hoàn toàn tương tự trong mặt phẳng $(SBC)$: $\overrightarrow{IF}=\frac{\vec{s}+\vec{b}}{3}$.

Suy ra $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{IF}-\overrightarrow{IE}=\frac{\vec{b}-\vec{a}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, nên $EF\parallel AB$. Mặt khác $M,N$ là trung điểm $SA,SB$ của tam giác $SAB$ nên $MN\parallel AB$. Vì $I,M,E$ thẳng hàng và $I,N,F$ thẳng hàng nên $E,F,M,N$ cùng thuộc mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng $IM,IN$. Trong mặt phẳng đó, $EF\parallel AB$ và $MN\parallel AB$ nên $EF\parallel MN$. (đpcm)

c) $O$ là giao của $AC$ và $BD$, chia $AC$ theo tỉ số $\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{CD}=2$, nên $\overrightarrow{IO}=\frac{\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IC}}{3}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{3}$.

Trọng tâm tam giác $SAB$: $\overrightarrow{IG}=\frac{\vec{s}+\vec{a}+\vec{b}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{IG}-\overrightarrow{IO}=\frac{\vec{s}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{IS}$, tức $OG\parallel IS$.

Vì $I$ thuộc đường thẳng $AD\subset (SAD)$ nên $IS\subset (SAD)$; lại $O,G$ không thuộc $(SAD)$. Vậy $OG\parallel (SAD)$. (đpcm)

d) $H$ thuộc $BC$ với $HB=2HC$ nên $\overrightarrow{IH}=\frac{\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}}{3}=\frac{\vec{b}+\vec{b}}{3}=\frac{2}{3}\vec{b}$.

Từ b): $\overrightarrow{IE}=\frac{\vec{s}+\vec{a}}{3}$, $\overrightarrow{IF}=\frac{\vec{s}+\vec{b}}{3}$. Khi đó:
- $\overrightarrow{EF}=\frac{\vec{b}-\vec{a}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\Rightarrow EF\parallel AB$.
- $\overrightarrow{FH}=\overrightarrow{IH}-\overrightarrow{IF}=\frac{2\vec{b}}{3}-\frac{\vec{s}+\vec{b}}{3}=\frac{\vec{b}-\vec{s}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SB}\Rightarrow FH\parallel SB$.

Trong mặt phẳng $(EFH)$, $EF$ và $FH$ cắt nhau tại $F$; trong $(SAB)$, $AB$ và $SB$ cắt nhau tại $B$; và $EF\parallel AB$, $FH\parallel SB$. Theo định lý về hai mặt phẳng song song, suy ra $(EFH)\parallel (SAB)$. (đpcm)