(3,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thoả mãn $$\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=\frac{2u_n}{u_n+4},n\ge 1\end{array}$$ Tìm số hạng tổng quát của $(u_n)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $v_n=\frac{1}{u_n}$ (với $u_n\ne 0$, đúng vì $u_1=1>0$ và nếu $u_n>0$ thì $u_{n+1}>0$). Khi đó: $$v_{n+1}=\frac{u_n+4}{2u_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{u_n}=2v_n+\frac{1}{2}.$$ Đây là dãy bậc nhất với $v_1=1$. Ta có $$v_{n+1}+\frac{1}{2}=2v_n+1=2\left(v_n+\frac{1}{2}\right),$$ suy ra dãy $\left(v_n+\frac{1}{2}\right)$ là cấp số nhân công bội $q=2$, số hạng đầu $v_1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Vậy $$v_n+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\cdot 2^{n-1}=3\cdot 2^{n-2},\Rightarrow v_n=\frac{3\cdot 2^{n-1}-1}{2}.$$ Do đó $$u_n=\frac{1}{v_n}=\frac{2}{3\cdot 2^{n-1}-1},n\ge 1.$$ Kiểm tra: $u_1=\frac{2}{3-1}=1$ đúng; $u_2=\frac{2}{6-1}=\frac{2}{5}$, và theo công thức truy hồi $u_2=\frac{2\cdot 1}{1+4}=\frac{2}{5}$ đúng. Vậy số hạng tổng quát là $u_n=\frac{2}{3\cdot 2^{n-1}-1}$.