(3,0 điểm) Giải phương trình $2{\sin }^{3}x-\sin 2x\cdot \sin x=-2\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{2026\pi }{4}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $2{\sin }^{3}x-\sin 2x\cdot \sin x=-2\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{2026\pi }{4}\right)$.

Rút gọn vế phải: $\frac{2026\pi }{4}=\frac{1013\pi }{2}=506\pi +\frac{\pi }{2}$, nên $\cos \left(x+\frac{2026\pi }{4}\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin x$. Vậy vế phải $=-2\sqrt{2}\cdot (-\sin x)=2\sqrt{2}\sin x$.

Rút gọn vế trái: $\sin 2x\cdot \sin x=2\sin x\cos x\cdot \sin x=2{\sin }^{2}x\cos x$, nên vế trái $=2{\sin }^{3}x-2{\sin }^{2}x\cos x=2{\sin }^{2}x(1-\cos x)$.

Phương trình trở thành:
$$2{\sin }^{2}x(1-\cos x)=2\sqrt{2}\sin x⟺\sin x\left[2\sin x(1-\cos x)-2\sqrt{2}\right]=0.$$

Trường hợp 1: $\sin x=0⟺x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Khi đó hai vế đều bằng $0$, thỏa mãn.

Trường hợp 2: $\sin x\ne 0$, phương trình tương đương $\sin x(1-\cos x)=\sqrt{2}$.

Nếu $\sin x<0$ thì vế trái $\le 0<\sqrt{2}$, vô nghiệm. Xét $\sin x>0$, đặt $t=\cos x\in (-1;1)$, khi đó $\sin x=\sqrt{1-t^2}$ và cần $g(t)=\sqrt{1-t^2}(1-t)=\sqrt{2}$.

Xét $h(t)=g^2(t)=(1-t^2)(1-t{)}^2=(1-t{)}^3(1+t)$. Ta có
$$h^{\prime }(t)=-3(1-t{)}^2(1+t)+(1-t{)}^3=(1-t{)}^2(-2-4t).$$
Trên $(-1;1)$, $h^{\prime }(t)=0$ khi $t=-\frac{1}{2}$, và $h$ đạt cực đại (rồi giảm) tại đó:
$$h\left(-\frac{1}{2}\right)={\left(\frac{3}{2}\right)}^3\cdot \frac{1}{2}=\frac{27}{16}.$$
Vậy $\sin x(1-\cos x)\le \sqrt{\frac{27}{16}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\approx 1,299<\sqrt{2}\approx 1,414$.
Do đó trường hợp 2 vô nghiệm.

Kết luận: tập nghiệm của phương trình là $x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. (Lưu ý: bản giải AI gốc đã đúng phép biến đổi $\sin x(1-\cos x)=\sqrt{2}$ và chặn $\frac{3\sqrt{3}}{4}<\sqrt{2}$; kết luận $x=k\pi$ là chính xác.)