(3,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với $AD\parallel BC$, $AB=BC=a$, $AD=2a$. Tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ và $SB=a\sqrt{3}$.
1. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$, chứng minh rằng $BM\parallel (SCD)$.
2. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $BM$ và $CD$.
3. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$, $H$ là giao điểm của đường thẳng $BG$ và mặt phẳng $(SAC)$. Tính tỉ số $\frac{HB}{HG}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $D(2a;0;0)$. Vì $ABCD$ hình thang cân, $AB=BC=a$, $AD=2a$ nên $B\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $C\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$.

Tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ nên $SA=SD$ và $SA\cdot SD=0$, suy ra $S$ nằm trên trung trực của $AD$ (tức $x=a$) và $S{A}^2=\frac{A{D}^2}{2}=2a^2$. Đặt $S(a;y;z)$: từ $S{A}^2=2a^2$ được $y^2+z^2=a^2$; từ $S{B}^2=S{A}^2-a\sqrt{3}y=3a^2$ được $y=-\frac{a}{\sqrt{3}}$, suy ra $z=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Vậy $S\left(a;-\frac{a}{\sqrt{3}};\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)$.

1) Gọi $N$ là trung điểm $SD$. Khi đó $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ nên $MN\parallel AD\parallel BC$ và $MN=\frac{AD}{2}=a=BC$. Vậy $MBCN$ là hình bình hành, suy ra $BM\parallel CN\subset (SCD)$, mà $BM\not\subset (SCD)$. Do đó $BM\parallel (SCD)$.

2) $M\left(\frac{a}{2};-\frac{a}{2\sqrt{3}};\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)$, nên $\overrightarrow{BM}=\left(0;-\frac{2a}{\sqrt{3}};\frac{a\sqrt{6}}{6}\right)$, $|BM|=\sqrt{\frac{4a^2}{3}+\frac{a^2}{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. $\overrightarrow{CD}=\left(\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $|CD|=a$.
$\cos (BM,CD)=\frac{|\overrightarrow{BM}\cdot \overrightarrow{CD}|}{|BM||CD|}=\frac{\left|0+\frac{2a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}+0\right|}{\frac{a\sqrt{6}}{2}\cdot a}=\frac{a^2}{\frac{a^2\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

3) Trọng tâm $G$ của tam giác $SCD$: $G\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{18};\frac{a\sqrt{6}}{9}\right)$ (kiểm tra: $y_G=\frac{1}{3}\left(-\frac{a}{\sqrt{3}}+\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{a\sqrt{3}}{18}>0$).

Mặt phẳng $(SAC)$ đi qua $A$ có pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AS}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{6}}{2};-\sqrt{3}\right)$ (theo đơn vị $a^2$), tức $(SAC)$: $\frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{6}}{2}y-\sqrt{3}z=0$ (thay $C$ và $S$ đều thỏa mãn).

Điểm $H=B+t(G-B)$ với $G-B=\left(a;-\frac{4a\sqrt{3}}{9};\frac{a\sqrt{6}}{9}\right)$, tức $x=\frac{a}{2}+at$, $y=\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{4a\sqrt{3}}{9}t$, $z=\frac{a\sqrt{6}}{9}t$. Thay vào phương trình mặt phẳng:
$\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{a}{2}+at\right)-\frac{\sqrt{6}}{2}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}-\frac{4a\sqrt{3}}{9}t\right)-\sqrt{3}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{9}t=-\frac{a\sqrt{2}}{2}+\frac{5a\sqrt{2}}{6}t=0$, suy ra $t=\frac{3}{5}$.

Vậy $H$ nằm giữa $B$ và $G$ với $HB=\frac{3}{5}BG$, $HG=\frac{2}{5}BG$, do đó $\frac{HB}{HG}=\frac{3}{2}$.