(4,0 điểm) Cho $A(n)=10^{10^n}-9^{9^n}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Tìm một giá trị của $n$ sao cho $A(n)$ có hai chữ số tận cùng giống nhau.

b) Chứng minh rằng nếu $A(n)$ có $k$ chữ số tận cùng giống nhau thì $k\le 4$.

a) Chú ý $10^{10^n}\equiv 0(\mathrm{mod}10)$; $9^{9^n}\equiv 9(\mathrm{mod}10)$ với mọi số nguyên dương $n$. Vậy ta được $A(n)\equiv 0-9\equiv 1(\mathrm{mod}10)$. Do đó, nếu $A(n)$ có nhiều chữ số tận cùng giống nhau thì các chữ số đó phải là 1.

Với $n=1$, ta chứng minh $A(1)\equiv 11(\mathrm{mod}100)$ hay $9^9\equiv -11(\mathrm{mod}100)$.

Thật vậy, ta có $9^2\equiv -19(\mathrm{mod}100)$; $9^4\equiv -39(\mathrm{mod}100)$; $9^8\equiv 21(\mathrm{mod}100)$; $9^9\equiv -11(\mathrm{mod}100)$.

Vậy $A(1)\equiv 11(\mathrm{mod}100)$ hay $A(1)$ có hai chữ số tận cùng giống nhau.

b) Giả sử tồn tại số nguyên dương $n$ để $A(n)$ có 5 chữ số tận cùng giống nhau. Chú ý rằng $A(n)\equiv 1(\mathrm{mod}10)$ nên 5 chữ số tận cùng của $A(n)$ là 11111. Lúc này ta được $A(n)\equiv 11111(\mathrm{mod}10^5)$.

Do $10^n>5$ nên $10^{10^n}\equiv 0(\mathrm{mod}10^5)$. Vậy $-9^{9^n}\equiv 11111(\mathrm{mod}10^5)\Rightarrow 9^{9^n}\equiv -11111\equiv 25(\mathrm{mod}32)$.

Ta có: $9\equiv 9(\mathrm{mod}32)$; $9^2\equiv 17(\mathrm{mod}32)$; $9^3\equiv 25(\mathrm{mod}32)$; $9^4\equiv 1(\mathrm{mod}32)$. Vậy để $9^{9^n}\equiv 25(\mathrm{mod}32)$ thì $9^n\equiv 3(\mathrm{mod}4)$. Tuy nhiên điều này là vô lý vì $9^n\equiv 1(\mathrm{mod}4)$.

Vậy $A(n)$ không thể có 5 chữ số tận cùng là giống nhau hay nói cách khác, nếu $k$ là số chữ số tận cùng giống nhau của $A(n)$ thì $k\le 4$.