(4,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với $BC,CA,AB$. Đường thẳng $AI$ cắt $DE,DF$ lần lượt tại $P,Q$. Đường tròn đường kính $PQ$ cắt $BC$ tại $M,N$.

a) Chứng minh rằng $BP$ song song với $CQ$.

b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ tiếp xúc với đường tròn $(I)$.

a) Xét tứ giác $IDQC$, ta có:

$$\widehat{QDC}=\widehat{FDB}=90^{\circ }-\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{\widehat{BAC}+\widehat{ACB}}{2}=\widehat{QIC}$$

Vậy tứ giác $IDQC$ nội tiếp. Do đó $\widehat{IQC}=\widehat{IDC}=90^{\circ }$.

Xét tứ giác $IPDB$, ta có:

$$\widehat{PDC}=90^{\circ }-\frac{\widehat{ACB}}{2}=\frac{\widehat{BAC}+\widehat{ABC}}{2}=\widehat{BIP}$$

Vậy tứ giác $BIPD$ nội tiếp. Do đó $\widehat{IPB}=\widehat{IDB}=90^{\circ }$. Chú ý $\widehat{IQC}=90^{\circ }$. Vậy $BP//CQ$.

b) Gọi $K$ là giao điểm của $AQ$ và $BC$, $L$ là trung điểm $PQ$. Lúc này $L$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $PMQN$.

Theo định lý Thales và tính chất đường phân giác, ta có:

$$\frac{KP}{KQ}=\frac{KB}{KC}=\frac{AB}{AC}=\frac{AB\cos \widehat{BAK}}{AC\cos \widehat{CAK}}=\frac{AP}{AQ}$$

Vậy $(AKPQ)=-1=M(AKPQ)=N(AKPQ)$. Chú ý rằng do $MP\perp MQ$, $NP\perp NQ$ nên $MP,NP$ lần lượt là phân giác trong của $\widehat{AMN},\widehat{ANM}$; $MQ$ và $NQ$ lần lượt là phân giác ngoài của $\widehat{AMN},\widehat{ANM}$. Khi đó, $P$ và $Q$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn bàng tiếp ứng với góc $A$ của tam giác $AMN$.

Khi đó trung điểm $L$ của $PQ$ là điểm chính giữa cung nhỏ $MN$ của đường tròn $(AMN)$.

Ta có: $\widehat{DQI}=\widehat{DCI}=\widehat{IDP}$. Do đó $△IDP\sim △IQD\Rightarrow I{D}^2=IP\cdot IQ=I{L}^2-L{P}^2$. Vậy đường tròn $(DEF)$ và đường tròn $(MPNQ)$ trực giao. Khi đó ${\mathcal{P}}_{L/(DEF)}=L{P}^2$.

Chú ý rằng $L{M}^2=L{N}^2=LK\cdot LA$. Xét phép nghịch đảo ${\mathcal{I}}_{(L,L{P}^2)}$, ta được $(DEF)\mapsto (DEF),BC\equiv MN\mapsto (AMN)$. Do phép nghịch đảo bảo toàn góc và $BC$ tiếp xúc với $(DEF)$ nên $(AMN)$ tiếp xúc với $(DEF)$.