(4,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thoả mãn $u_1=2027$ và $u_n=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}+\frac{2026}{u_{n-1}}\right),\forall n\ge 2$.

a) Chứng minh rằng $u_n\ge \sqrt{2026},\forall n\ge 1$.

b) Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

a) Từ công thức truy hồi của dãy $(u_n)$, ta được $u_n>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Ta có: $u_1=2027>\sqrt{2026}$. Vậy khẳng định đúng với $n=1$.

Với $n>1$, áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$$u_n=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}+\frac{2026}{u_{n-1}}\right)\ge \frac{1}{2}.2\sqrt{2026}=\sqrt{2026}$$

Vậy khẳng định đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ hay $u_n\ge \sqrt{2026},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

b) Với mọi $n\ge 2$, chú ý rằng $u_n\ge \sqrt{2026}$, ta có:

$$u_n-u_{n-1}=\frac{1}{2}\left(u_{n-1}+\frac{2026}{u_{n-1}}\right)-u_{n-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{2026}{u_{n-1}}-u_{n-1}\right)=\frac{1}{2}.\frac{2026-u_{n-1}^2}{u_{n-1}}\le 0$$

Vậy $(u_n)$ là dãy giảm và bị chặn dưới bởi $\sqrt{2026}$ nên theo tiêu chuẩn Weierstrass, dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. Đặt $\lim u_n=L$. Từ công thức truy hồi của $(u_n)$, ta cho $n\to +\infty$, ta được:

$$L=\frac{1}{2}\left(L+\frac{2026}{L}\right)\iff \frac{L}{2}=\frac{1013}{L}\iff L=\pm \sqrt{2026}$$

Chú ý rằng $u_n\ge \sqrt{2026},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $L=\sqrt{2026}$. Vậy $\lim u_n=\sqrt{2026}$.