(4,0 điểm) Chứng minh từ 2026 điểm phân biệt trong một mặt phẳng, có thể dựng được 1013 đoạn thẳng nối hai điểm đối một với nhau mà trong các đoạn thẳng đã dựng, không có 2 đoạn thẳng nào có điểm chung.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $S$ là tập 2026 điểm phân biệt đã cho trong mặt phẳng. Với mỗi cặp điểm $A,B\in S$, xét phương của đường thẳng $AB$; chỉ có hữu hạn (không quá $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2026}{2}\right)$) phương như vậy. Chọn một trục $Ox$ (một hướng) không vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào đi qua hai điểm của $S$; điều này khả thi vì các hướng bị cấm chỉ là hữu hạn nhiều hướng. Khi đó hình chiếu vuông góc của 2026 điểm lên trục $Ox$ là 2026 số thực đôi một khác nhau. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần của hoành độ hình chiếu: $P_1,P_2,\dots ,P_{2026}$. Dựng 1013 đoạn thẳng $P_1{P}_2,P_3{P}_4,\dots ,P_{2025}{P}_{2026}$. Mỗi đoạn nối đúng hai điểm của $S$, và mọi điểm của $S$ thuộc đúng một đoạn, nên các đoạn nối hai điểm đôi một với nhau. Xét hai đoạn bất kỳ $P_{2k-1}{P}_{2k}$ và $P_{2m-1}{P}_{2m}$ với $k\ne m$; giả sử $k<m$. Hình chiếu của mọi điểm của đoạn thứ nhất nằm trong khoảng $[x_{2k-1},x_{2k}]$, của đoạn thứ hai nằm trong $[x_{2m-1},x_{2m}]$, mà $x_{2k}<x_{2k+1}\le x_{2m-1}$, nên hai khoảng hình chiếu này rời nhau. Nếu hai đoạn thẳng có một điểm chung $I$ thì hình chiếu của $I$ phải thuộc cả hai khoảng hình chiếu — mâu thuẫn. Vậy không có hai đoạn thẳng nào có điểm chung, đpcm.