a) Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=1$, công sai $d=\frac{1}{2025}$. Tính giá trị của biểu thức
$$S=\frac{1}{u_1\sqrt{u_2}+u_2\sqrt{u_1}}+\frac{1}{u_2\sqrt{u_3}+u_3\sqrt{u_2}}+\dots +\frac{1}{u_{2025}\sqrt{u_{2026}}+u_{2026}\sqrt{u_{2025}}}$$
b) Tính giới hạn sau: $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{6x-3}-\sqrt{20x-15}+x}{x^2-4x+4}$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2a) Với mỗi $k=1,\dots ,2025$, ta có $u_{k+1}-u_k=d=\frac{1}{2025}>0$ nên $u_k>0$. Nhân tử và mẫu với $\sqrt{u_{k+1}}-\sqrt{u_k}$:
$$\left(u_k\sqrt{u_{k+1}}+u_{k+1}\sqrt{u_k}\right)\left(\sqrt{u_{k+1}}-\sqrt{u_k}\right)=\sqrt{u_k{u}_{k+1}}(u_{k+1}-u_k)=d\sqrt{u_k{u}_{k+1}}.$$
Do đó
$$\frac{1}{u_k\sqrt{u_{k+1}}+u_{k+1}\sqrt{u_k}}=\frac{1}{d}\cdot \frac{\sqrt{u_{k+1}}-\sqrt{u_k}}{\sqrt{u_k{u}_{k+1}}}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{\sqrt{u_k}}-\frac{1}{\sqrt{u_{k+1}}}\right).$$
Tổng dạng telescoping:
$$S=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{\sqrt{u_1}}-\frac{1}{\sqrt{u_{2026}}}\right).$$
Với $u_1=1$, $d=\frac{1}{2025}$: $u_{2026}=u_1+2025d=1+2025\cdot \frac{1}{2025}=2$. Vậy
$$S=2025\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{2025(2-\sqrt{2})}{2}=\frac{4050-2025\sqrt{2}}{2}.$$

Câu 2b) Thay $x=2$: tử $=\sqrt{9}-\sqrt{25}+2=3-5+2=0$, mẫu $=(x-2{)}^2\to 0$, dạng $\frac{0}{0}$.
Viết $f(x)=\sqrt{6x-3}-\sqrt{20x-15}+x$. Ta có $f(2)=0$ và
$$f^{\prime }(x)=\frac{3}{\sqrt{6x-3}}-\frac{10}{\sqrt{20x-15}}+1,f^{\prime }(2)=1-2+1=0,$$
nên cần khai triển đến cấp 2:
$$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{9}{(6x-3{)}^{3/2}}+\frac{100}{(20x-15{)}^{3/2}},f^{\prime \prime }(2)=-\frac{9}{27}+\frac{100}{125}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{5}=\frac{7}{15}.$$
Theo Taylor: $f(x)=\frac{f^{\prime \prime }(2)}{2}(x-2{)}^2+o((x-2{)}^2)=\frac{7}{30}(x-2{)}^2+o((x-2{)}^2)$.
Vậy
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{6x-3}-\sqrt{20x-15}+x}{x^2-4x+4}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\frac{7}{30}(x-2{)}^2}{(x-2{)}^2}=\frac{7}{30}.$$