Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $AD$. Gọi $M$ là điểm di động bên trong hình thang $ABCD$. Qua $M$ vẽ các đường thẳng song song với $SA$, $SB$ và lần lượt cắt các mặt phẳng $(SBC)$, $(SAD)$ theo thứ tự tại $N$ và $P$. Gọi $Q$ là điểm thay đổi thuộc đoạn $MN$.
a) Chứng minh rằng $MQ$ song song với mặt phẳng $(SAB)$.
b) Tính $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giả thiết hình thang có $AD\parallel BC$ với $AD$ là đáy lớn (theo đề và hình vẽ trang đề).

**a) Chứng minh $MQ\parallel (SAB)$.**

Đường thẳng qua $M$ song song với $SA$ cắt $(SBC)$ tại $N$, nên $MN\parallel SA$.

Ta có:
- $SA\subset (SAB)$;
- $M$ nằm bên trong hình thang $ABCD$ (thuộc mặt đáy), mà $(SAB)\cap (ABCD)=AB$, và $M\notin AB$, suy ra $M\notin (SAB)$, do đó $MN\not\subset (SAB)$.

Vậy $MN\parallel (SAB)$. Vì $Q\in MN$ nên $MQ$ cùng nằm trên đường thẳng $MN$, suy ra $MQ\parallel (SAB)$. (Đpcm)

**b) Tính $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}$.**

Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $AM$ với $BC$ (có vì $M$ nằm trong hình thang và $BC\parallel AD$).

Xét mặt phẳng $(SAMN)$: vì $MN\parallel SA$ nên $S,A,M,N$ đồng phẳng. Mặt phẳng này cắt $(SBC)$ theo giao tuyến $SN$ (vì $S,N$ cùng thuộc cả hai mặt phẳng) và cắt mặt đáy theo $AM$. Điểm $K=AM\cap BC$ thuộc $AM\subset (SAMN)$ và thuộc $BC\subset (SBC)$, nên $K$ thuộc giao tuyến, tức là $S,N,K$ thẳng hàng, với thứ tự $A,M,K$ trên đường thẳng $AK$ và $N$ nằm giữa $S$ và $K$.

Trong mặt phẳng $(SAK)$, vì $MN\parallel SA$:
$$△KMN\sim △KSA\Rightarrow \frac{MN}{SA}=\frac{KM}{KA}.$$

Gọi $L$ là giao điểm của đường thẳng $BM$ với $AD$. Xét mặt phẳng $(SBMP)$: vì $MP\parallel SB$ nên $S,B,M,P$ đồng phẳng. Mặt phẳng này cắt $(SAD)$ theo giao tuyến $SP$ và cắt mặt đáy theo $BM$. Điểm $L=BM\cap AD$ thuộc cả hai mặt phẳng, nên $S,P,L$ thẳng hàng, với thứ tự $L,M,B$ và $P$ nằm giữa $S$ và $L$.

Trong mặt phẳng $(SBL)$, vì $MP\parallel SB$:
$$△LMP\sim △LSB\Rightarrow \frac{MP}{SB}=\frac{LM}{LB}.$$

Vì $AD\parallel BC$, áp dụng định lý Thales cho hai cột mốc $A,M,K$ và $L,M,B$ cùng đi qua $M$: các đoạn thẳng $AK$ và $BL$ bị các đường thẳng song song $AD\parallel BC$ cắt tại $A,L$ và $K,B$, nên
$$\frac{KM}{KA}+\frac{LM}{LB}=\frac{MK+ML}{?}$$
Cách thấy trực tiếp: vì $AD\parallel BC$, khoảng cách từ $M$ đến $AD$ cộng khoảng cách từ $M$ đến $BC$ bằng khoảng cách giữa hai đáy (chiều cao hình thang) $h$. Suy ra
$$\frac{KM}{KA}=\frac{h-d(M,AD)}{h}=1-\frac{d(M,AD)}{h},\frac{LM}{LB}=\frac{d(M,AD)}{h},$$
(vì $\frac{KM}{KA}=\frac{d(M,BC)}{h}$ và $\frac{LM}{LB}=\frac{d(M,AD)}{h}$ do $K\in BC$, $L\in AD$).
Cộng lại:
$$\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}=\frac{KM}{KA}+\frac{LM}{LB}=\frac{d(M,BC)+d(M,AD)}{h}=\frac{h}{h}=1.$$

**Kết luận:** $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}=1$.