a) Giải phương trình sau: $\cos 2x+2\cos x-2\cos \left(\frac{2025\pi }{2}-x\right)=0$.
b) Cho tam giác $ABC$ có cạnh $BC=a$, $AB=c$ thỏa mãn $\sqrt{(2a-c){\cos }^2\frac{B}{2}}=\sqrt{(2a+c){\sin }^2\frac{B}{2}}$ với $2a>c$. Chứng minh tam giác $ABC$ cân.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a) Ta có $\cos \left(\frac{2025\pi }{2}-x\right)=\cos \left(1012\pi +\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$. Phương trình trở thành $\cos 2x+2\cos x-2\sin x=0$. Vì $\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$, ta có $$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)+2(\cos x-\sin x)=0$$ $$\iff (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x+2)=0.$$ Với mọi $x$, $\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\ge -\sqrt{2}$, nên $\cos x+\sin x+2\ge 2-\sqrt{2}>0$, do đó $\cos x-\sin x=0\iff \cos x=\sin x\iff \tan x=1$ (khi đó $\cos x\ne 0$). Vậy $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Câu 1b) Điều kiện $2a>c$ đảm bảo $2a-c>0$. Bình phương hai vế của đẳng thức đã cho (hai vế đều không âm): $$(2a-c){\cos }^2\frac{B}{2}=(2a+c){\sin }^2\frac{B}{2}$$ $$\iff 2a\left({\cos }^2\frac{B}{2}-{\sin }^2\frac{B}{2}\right)=c\left({\cos }^2\frac{B}{2}+{\sin }^2\frac{B}{2}\right)\iff 2a\cos B=c\iff \cos B=\frac{c}{2a}.$$ Mặt khác, theo định lí côsin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$. Suy ra $$\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{c}{2a}\iff a^2+c^2-b^2=c^2\iff b^2=a^2\iff b=a.$$ Vậy $AC=BC$, tức tam giác $ABC$ cân tại $C$. (Điều kiện $2a>c$ tương đương $\cos B>0$ với $b=a$, tức $B$ nhọn, thỏa mãn.)