a) Cho dãy số $(a_n)$ tăng, là một cấp số cộng thỏa mãn: $a_1+a_4+a_{10}=69$ và $a_1;a_2+1;a_3+14$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của dãy số $(a_n)$.

b) Xét tính liên tục của hàm số $y=f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt{1+x}}{x}& \text{với }x\ne 0\\ \frac{1}{6}& \text{với }x=0\end{array}$ tại điểm $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2a) Gọi cấp số cộng là $a_n=a_1+(n-1)d$ với $d>0$ (dãy tăng).

Từ $a_1+a_4+a_{10}=69$: $a_1+(a_1+3d)+(a_1+9d)=69\Rightarrow 3a_1+12d=69\Rightarrow a_1+4d=23$, suy ra $a_1=23-4d$.

Vì $a_1;a_2+1;a_3+14$ lập thành cấp số nhân nên $(a_2+1{)}^2=a_1(a_3+14)$, tức $(a_1+d+1{)}^2=a_1(a_1+2d+14)$. Khai triển: $a_1^2+2a_1(d+1)+(d+1{)}^2=a_1^2+2a_{1}d+14a_1\Rightarrow (d+1{)}^2=12a_1$.

Thay $a_1=23-4d$: $d^2+2d+1=276-48d\Rightarrow d^2+50d-275=0\Rightarrow d=5$ hoặc $d=-55$. Vì dãy tăng nên $d=5$, khi đó $a_1=23-20=3$.

Tổng 20 số hạng đầu: $S_{20}=\frac{20}{2}(2a_1+19d)=10(6+95)=1010$.

Câu 2b) Hàm số xác định tại $x=0$ với $f(0)=\frac{1}{6}$. Xét giới hạn bên phải và trái (cùng một biểu thức, xét $x\to 0$):
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt{1+x}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{1/3}-1}{x}-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+x{)}^{1/2}-1}{x}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}.$$

(Với $t=1+x\to 1$: ${\lim }_{t\to 1}\frac{t^{\alpha }-1}{t-1}=\alpha$.)

Vì ${\lim }_{x\to 0}f(x)=-\frac{1}{6}\ne \frac{1}{6}=f(0)$ nên hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x=0$.