Câu 4 (6,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1{B}_1{C}_1$. Biết rằng tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $AB=a$ và $A{A}_1=a\sqrt{2}$.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng $B{C}_1$ và $AC$.

b) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(A_{1}B{C}_1)$.

c) Gọi $M$, $N$ tương ứng là các điểm di động trên các đoạn thẳng $A_1{C}_1$ và $B{C}_1$ sao cho $MN=\frac{a}{2}$. Xác định vị trí của các điểm $M$, $N$ sao cho thể tích của khối chóp $A.A_{1}BNM$ có giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(0,a,0)$, $A_1(0,0,a\sqrt{2})$, $C_1(0,a,a\sqrt{2})$.

a) $\overrightarrow{B{C}_1}=(-a,a,a\sqrt{2})$, $|B{C}_1|=2a$; $\overrightarrow{AC}=(0,a,0)$. $\cos (B{C}_1,AC)=\frac{a^2}{2a\cdot a}=\frac{1}{2}$, nên góc giữa $B{C}_1$ và $AC$ bằng $60^{\circ }$.

b) Mặt phẳng $(A_{1}B{C}_1)$ có VTCP pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{A_{1}B}\times \overrightarrow{A_1{C}_1}\propto (a\sqrt{2},0,a)$, phương trình: $\sqrt{2}x+z-a\sqrt{2}=0$. Khoảng cách từ $A$: $d=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

c) Trong mặt phẳng $(A_{1}B{C}_1)$, vì $A_1{C}_1\perp A_{1}B$, chọn tọa độ phẳng: $A_1(0,0)$, $C_1(0,a)$, $B(a\sqrt{3},0)$ (vì $A_{1}B=a\sqrt{3}$). Đặt $M(0,m)$, $N=(a\sqrt{3}u,a(1-u))$ với $u\in [0,1]$ ($u=\frac{BN}{B{C}_1}$). Điều kiện $MN=\frac{a}{2}$: $3a^2{u}^2+(a(1-u)-m{)}^2=\frac{a^2}{4}$, suy ra $m=a(1-u)-a\sqrt{\frac{1}{4}-3u^2}$ với $0\le u\le \frac{1}{2\sqrt{3}}$, $m\ge 0$.

Diện tích tứ giác $A_{1}BNM$ (shoelace): $S=\frac{a\sqrt{3}}{2}[a(1-u)+mu]=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}f(u)$ với $f(u)=1-u^2-u\sqrt{\frac{1}{4}-3u^2}$.

$f^{\prime }(u)=-2u-\sqrt{\frac{1}{4}-3u^2}+\frac{3u^2}{\sqrt{\frac{1}{4}-3u^2}}=0\Rightarrow 6u^2-\frac{1}{4}=2u\sqrt{\frac{1}{4}-3u^2}\Rightarrow 768u^4-64u^2+1=0$, cho $u^2=\frac{1}{16}$ (nhận, vì $6u^2-\frac{1}{4}\ge 0$) hoặc $u^2=\frac{1}{48}$ (loại). So sánh: $f(\frac{1}{4})=\frac{7}{8}<f(0)=1<f(\frac{1}{2\sqrt{3}})=\frac{11}{12}$, nên min tại $u=\frac{1}{4}$.

Khi đó $t=1-u=\frac{3}{4}$, $m=\frac{a}{2}$: $M$ là trung điểm $A_1{C}_1$ ($A_{1}M=\frac{a}{2}$), $N$ trên $B{C}_1$ với $BN=\frac{3}{4}B{C}_1$ (tức $\frac{BN}{N{C}_1}=3$). Kiểm tra $M{N}^2=\frac{3a^2}{16}+\frac{a^2}{16}=\frac{a^2}{4}$ đúng.

Thể tích nhỏ nhất: $S_{\min }=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{7}{8}=\frac{7a^2\sqrt{3}}{16}$, $V_{\min }=\frac{1}{3}\cdot \frac{7a^2\sqrt{3}}{16}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{7a^3\sqrt{2}}{48}$.