a) Cho hàm số $y=f(x)=\frac{1}{4}{x}^4+a{x}^3+b{x}^2+cx$ có đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ bên cạnh. Tìm số điểm cực trị của hàm số $g(x)=f\left(f^{\prime }(x)\right)$.

b) Một bể chứa có đáy là hình vuông kích thước $1m\times 1m$, miệng trên mở với hình vuông kích thước $3m\times 3m$, bốn mặt bên là các hình thang cân bằng nhau, chiều cao của bể nước là $2m$, như hình vẽ minh họa. Bắt đầu khi bể đang trống, một vòi nước chảy vào bể với tốc độ không đổi mất 35 phút để bơm đầy nước đến đường trung bình của các mặt bên hình thang. Hỏi vòi nước cần thêm bao nhiêu phút nữa để bơm đầy phần còn lại của bể chứa? Tính tốc độ dâng theo chiều cao của mực nước tại thời điểm t=36 (phút).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a) Vì $f(x)=\frac{1}{4}{x}^4+a{x}^3+b{x}^2+cx$ nên $f^{\prime }(x)=x^3+3a{x}^2+2bx+c$ là hàm bậc ba với hệ số dẫn $1$. Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ có nghiệm đơn $x=-1$, nghiệm kép $x=2$, do đó $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-2{)}^2=x^3-3x^2+4$, suy ra $a=-1,b=0,c=4$ (đồ thị cắt trục $Oy$ tại $f^{\prime }(0)=4$). Ta có $f^{\prime \prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ và $f^{\prime \prime }(u)=3u(u-2)$.
$g^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }\left(f^{\prime }(x)\right)\cdot f^{\prime \prime }(x)$. Nghiệm của $g^{\prime }$: $f^{\prime \prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$; $f^{\prime \prime }(f^{\prime }(x))=0\iff f^{\prime }(x)=0$ (tức $x=-1$ hoặc $x=2$) hoặc $f^{\prime }(x)=2$, tức $(x+1)(x-2{)}^2=2\iff x^3-3x^2+2=0\iff (x-1)(x^2-2x-2)=0\iff x=1$ hoặc $x=1\pm \sqrt{3}$.
$f^{\prime }$ tăng trên $(-\infty ,0)$, giảm trên $(0,2)$, tăng trên $(2,+\infty )$; $f^{\prime }(0)=4$ (max), $f^{\prime }(2)=0$ (min); $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ,-1)$, $0<f^{\prime }(x)<2$ trên $(-1,1-\sqrt{3})\cup (1,1+\sqrt{3})$ (trừ gần $x=2$), $f^{\prime }(x)>2$ trên $(-\infty ,1-\sqrt{3})\cup (1,1+\sqrt{3})$... cụ thể $f^{\prime }(x)>2$ trên $(1-\sqrt{3},1)$ và $(1+\sqrt{3},+\infty )$.
Xét dấu $g^{\prime }(x)$:
- $(-\infty ,-1)$: $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime }(x)<0\Rightarrow f^{\prime \prime }(f^{\prime })>0\Rightarrow g^{\prime }>0$.
- $(-1,1-\sqrt{3})$: $f^{\prime \prime }(x)>0$, $0<f^{\prime }<2\Rightarrow f^{\prime \prime }(f^{\prime })<0\Rightarrow g^{\prime }<0$ ⇒ $x=-1$ là điểm cực đại.
- $(1-\sqrt{3},0)$: $f^{\prime \prime }(x)>0$, $f^{\prime }>2\Rightarrow f^{\prime \prime }(f^{\prime })>0\Rightarrow g^{\prime }>0$ ⇒ $x=1-\sqrt{3}$ là điểm cực tiểu.
- $(0,1)$: $f^{\prime \prime }(x)<0$, $f^{\prime }>2\Rightarrow f^{\prime \prime }(f^{\prime })>0\Rightarrow g^{\prime }<0$ ⇒ $x=0$ là điểm cực đại.
- $(1,2)$: $f^{\prime \prime }(x)<0$, $0<f^{\prime }<2\Rightarrow f^{\prime \prime }(f^{\prime })<0\Rightarrow g^{\prime }>0$ ⇒ $x=1$ là điểm cực tiểu.
- $(2,1+\sqrt{3})$: $f^{\prime \prime }(x)>0$, $0<f^{\prime }<2\Rightarrow f^{\prime \prime }(f^{\prime })<0\Rightarrow g^{\prime }<0$ ⇒ $x=2$ là điểm cực đại.
- $(1+\sqrt{3},+\infty )$: cả hai dương ⇒ $g^{\prime }>0$ ⇒ $x=1+\sqrt{3}$ là điểm cực tiểu.
Vậy $g(x)$ có $6$ điểm cực trị: $x=-1,x=1-\sqrt{3},x=0,x=1,x=2,x=1+\sqrt{3}$.

Câu 1b) Tại chiều cao $h$ ($0\le h\le 2$), cạnh hình vuông cắt ngang là $1+h$ (từ 1 đến 3), diện tích $A(h)=(1+h{)}^2$. Thể tích nước đến chiều cao $h$: $V(h)={\int }_0^h(1+u{)}^{2}du=\frac{(1+h{)}^3-1}{3}$. Mực nước đến đường trung bình hình thang ứng $h=1$: $V(1)=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}{m}^3$. Thể tích toàn bể: $V(2)=\frac{27-1}{3}=\frac{26}{3}{m}^3$. Tốc độ bơm không đổi: $\frac{7/3}{35}=\frac{1}{15}{m}^3$/phút. Thời gian bơm phần còn lại: $\frac{26/3-7/3}{1/15}=\frac{19/3}{1/15}=95$ phút. Tại $t=36$: thể tích đã bơm $\frac{36}{15}=\frac{12}{5}{m}^3$, nên $\frac{(1+h{)}^3-1}{3}=\frac{12}{5}\Rightarrow (1+h{)}^3=\frac{41}{5}\Rightarrow h=\sqrt[3]{\frac{41}{5}}-1\approx 1,0165m$. Tốc độ dâng: $A(h)\cdot h^{\prime }(t)=\frac{1}{15}\Rightarrow h^{\prime }(36)=\frac{1}{15(1+h{)}^2}=\frac{1}{15{\left(\frac{41}{5}\right)}^{2/3}}\approx 0,0164m$/phút.