a) Chủ nhà dự định làm tiểu cảnh trên một mảnh đất hình tròn có đường kính $30m$ (hình bên dưới). Bên trong hình tròn đó thiết kế một lục giác đều làm bể nước nuôi cá, trồng hoa trong 6 hình chữ nhật (có chiều rộng là $1m$), phần còn lại trồng cỏ. Biết giá thành trồng mỗi mét vuông cỏ là 50 000 đồng, hoa là 1 500 000 đồng, chủ nhà tốn bao nhiêu tiền để trồng hoa và cỏ hết phần diện tích nói trên?

b) Bạn A định làm một cái hộp quà lưu niệm (không nắp) bằng cách cắt và dán từ một tấm bìa hình tròn bán kính 4 cm để tạo thành một khối lăng trụ lục giác đều, biết 6 hình chữ nhật bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích lớn nhất của hộp quà được tạo ra. [Hình cần kiểm tra lại: p2_f1]

(AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi — đã kiểm tra lại toàn bộ tính toán)

CÂU 2a) Gọi $a$ là cạnh lục giác đều nội tiếp, bán kính đường tròn $R=15$ m. Khoảng cách từ tâm $O$ đến mỗi cạnh lục giác là $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Mỗi hình chữ nhật trồng hoa có chiều rộng $1$ m, chiều dài $a$, hai đỉnh ngoài chạm đường tròn nên: ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}+1\right)}^2=15^2$. Suy ra $\frac{a^2}{4}+\frac{3a^2}{4}+a\sqrt{3}+1=225\iff a^2+a\sqrt{3}-224=0$, lấy nghiệm dương $a=\frac{\sqrt{899}-\sqrt{3}}{2}\approx 14,1256$ m. Diện tích lục giác (bể cá): $S_{lục}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2\approx 518,403$ m². Diện tích trồng hoa (6 hình chữ nhật): $S_{hoa}=6a\approx 84,754$ m². Diện tích trồng cỏ: $S_{cỏ}=\pi R^2-S_{lục}-S_{hoa}=225\pi -518,403-84,754\approx 103,702$ m². Chi phí: cỏ $103,702\times 50000\approx 5185100$ đồng; hoa $84,754\times 1500000\approx 127131000$ đồng. Tổng: $\approx 132316000$ đồng $\approx 132,3$ triệu đồng.

CÂU 2b) Gọi $a$ là cạnh đáy lục giác đều và $h$ là chiều cao lăng trụ (chiều rộng hình chữ nhật). Hai đỉnh ngoài của hình chữ nhật nằm trên tấm bìa tròn bán kính 4 cm nên: ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}+h\right)}^2=16\iff a^2+\sqrt{3}ah+h^2=16$. Thể tích: $V=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^{2}h$. Dùng nhân tử Lagrange: $\frac{3\sqrt{3}ah}{2a+\sqrt{3}h}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2}{\sqrt{3}a+2h}\iff 2h(\sqrt{3}a+2h)=a(2a+\sqrt{3}h)\iff 2a^2-\sqrt{3}ah-4h^2=0\iff a=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{35}}{4}h\approx 1,9121h$. Thay vào ràng buộc: $h^2\left(k^2+\sqrt{3}k+1\right)=16$ với $k=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{35}}{4}$, mà $k^2+\sqrt{3}k+1=\frac{3(11+\sqrt{105})}{8}\approx 7,9676$, suy ra $h^2=\frac{128}{3(11+\sqrt{105})}\approx 2,0081$, $h\approx 1,4171$ cm, $a\approx 2,7096$ cm. Khi đó $V_{\max }=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^{2}h=\frac{64\sqrt{2}(19+\sqrt{105})}{(11+\sqrt{105}{)}^{3/2}}\approx 27,03$ cm³. Vì $V\to 0$ khi $h\to 0$ hoặc $a\to 0$, điểm tới hạn duy nhất trong miền mở cho giá trị lớn nhất. Vậy thể tích lớn nhất của hộp quà là $\approx 27,03$ cm³.

Kiểm tra số: $a\approx 14,1256$: $a^2+a\sqrt{3}\approx 199,53+24,47=224$ ✓; $V_{\max }$ kiểm tra trực tiếp $\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot (2,7096{)}^2\cdot 1,4171\approx 27,03$ cm³ ✓.