a) Cho hình bình hành ABCD, M trên đoạn AB và N trên đoạn CD sao cho $AM=\frac{1}{3}AB$, $DN=\frac{1}{2}DC$. Gọi I, J là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{BI}=x\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AJ}=y\overrightarrow{AI}$. Tìm $x,y$ để $J$ là trọng tâm tam giác $BMN$.

b) Cho tam giác đều $ABC$. Lấy các điểm $M,N$ thỏa mãn $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Gọi I là giao điểm của $AM$ và $CN$. Chứng minh $BI\perp IC$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 5a)** Chọn hệ vectơ với gốc A, đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$.

- $M$ trên $AB$ với $AM=\frac{1}{3}AB$: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{u}$.
- $N$ trên $CD$ với $DN=\frac{1}{2}DC$, mà $\overrightarrow{DC}=\vec{u}$ nên $\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\vec{u}$, suy ra $\overrightarrow{AN}=\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}$.

Trọng tâm $G$ của tam giác $BMN$ thỏa $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})=\frac{1}{3}\left(\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{u}+\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{u}\right)=\frac{11}{18}\vec{u}+\frac{1}{3}\vec{v}$.

Theo giả thiết: $\overrightarrow{BI}=x\overrightarrow{BC}=x\vec{v}$ nên $\overrightarrow{AI}=\vec{u}+x\vec{v}$; và $\overrightarrow{AJ}=y\overrightarrow{AI}=y\vec{u}+xy\vec{v}$.

Để $J$ là trọng tâm tam giác $BMN$ thì $\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AG}$, tức:
$$y=\frac{11}{18},xy=\frac{1}{3}\Rightarrow x=\frac{1/3}{11/18}=\frac{6}{11}.$$

Vậy $x=\frac{6}{11},y=\frac{11}{18}$.

**Câu 5b)** Gọi $a$ là cạnh tam giác đều, đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(3;0)$, $C\left(\frac{3}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ (chọn cạnh bằng 3).

- $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ nên $N(1;0)$.
- $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ nên $M\left(\frac{5}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Đường thẳng $AM$: điểm $\left(t\cdot \frac{5}{2};t\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Đường thẳng $CN$: $C+s(N-C)=\left(\frac{3}{2}-\frac{s}{2};\frac{3\sqrt{3}}{2}(1-s)\right)$.

Giao điểm $I$: giải hệ
$$\frac{5t}{2}=\frac{3}{2}-\frac{s}{2},\frac{\sqrt{3}t}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}(1-s).$$
Từ phương trình thứ hai: $t=3(1-s)$. Thay vào phương trình thứ nhất: $\frac{5\cdot 3(1-s)}{2}=\frac{3-s}{2}\Rightarrow 15(1-s)=3-s\Rightarrow 12=14s\Rightarrow s=\frac{6}{7}$, $t=\frac{3}{7}$.

Suy ra $I=\left(\frac{15}{14};\frac{3\sqrt{3}}{14}\right)$.

Tính các vectơ:
$$\overrightarrow{BI}=\left(\frac{15}{14}-3;\frac{3\sqrt{3}}{14}\right)=\left(-\frac{27}{14};\frac{3\sqrt{3}}{14}\right),$$
$$\overrightarrow{IC}=\left(\frac{3}{2}-\frac{15}{14};\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{14}\right)=\left(\frac{6}{14};\frac{18\sqrt{3}}{14}\right).$$

Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{BI}\cdot \overrightarrow{IC}=\frac{1}{196}\left[(-27)(6)+(3\sqrt{3})(18\sqrt{3})\right]=\frac{-162+162}{196}=0.$$

Vậy $\overrightarrow{BI}\cdot \overrightarrow{IC}=0$, tức $BI\perp IC$. $■$